【知識點1】 勻速圓周運動及其描述

一、描述勻速圓周運動的快慢

1．線速度

(1)定義：線速度的大小等于質點通過的弧長s跟通過這段弧長所用時間t的比值。

(2)公式：v＝s/t

(3)意義：描述做圓周運動的物體的運動快慢。

(4)方向：物體在某一時刻或某一位置的線速度方向就是圓弧上該點的切線方向。

2．角速度

(1)定義：在圓周運動中，質點所在半徑轉過的角度θ和所用時間t的比值，就是物體轉動的角速度。

(2)公式：ω＝θ/t

(3)意義：描述物體繞圓心轉動的快慢。勻速圓周運動的角速度是不變的。

(4)單位：在國際單位制中，角速度的單位是弧度每秒，符号為rad/s。

3．周期

(1)定義：做勻速圓周運動的物體，運動一周所用的時間叫做周期。用T表示，單位是秒，符号是s。

(2)與頻率的關系：T＝1/f.

4．轉速

(1)定義：做勻速圓周運動的物體，單位時間内轉過的圈數稱為轉速n.

(2)單位：轉/秒(r/s)或轉/分(r/min)。

二、描述圓周運動的物理量及其關系

1．角速度、周期、轉速之間的關系ω＝2π/T＝2nπ

即角速度與周期成反比，與轉速成正比。

(1)轉速n的單位為r/s.

(2)ω、T、n三個量中任意一個确定，其餘兩個也就确定。

2．線速度與角速度的關系v＝rω

r一定時，v∝ω，如圓盤轉動時，圓盤上某點的ω越大則v越大

ω一定時，v∝r，如時鐘的分針轉動時，分針上各質點的ω相同，但分針上離圓心越遠的質點，r越大，v也越大

v一定時，ω∝1/r，如皮帶傳動裝置中，兩輪邊緣上各點線速度大小相等，但大輪的r較大，ω較小

3.線速度與周期的關系v=2πr/T，即當半徑r相同時，周期小的線速度大。

特别提醒：

(1)v、ω、r是瞬時對應關系，隻有控制一個量不變，才能确定另外兩個量是正比還是反比關系。

(2)描述勻速圓周運動的線速度大小不變，方向時刻變化，即線速度是變化的，而角速度、周期、轉速是不變的。

【知識點2】 三種傳動方式

1.皮帶傳動（同一皮帶不打滑）

(1)線速度：和皮帶相連的兩輪邊緣線速度大小相等v1＝v2

(2)角速度：ω1：ω2=r2：r1

(3)轉速：n1：n2=r2：r1

(3)周期：T1：T2=r1：r2

2．齒輪傳動

A點和B點分别是兩個齒輪邊緣上的點，兩個齒輪輪齒齧合。齒輪轉動時，它們的線速度、角速度、周期存在以下定量關系：

vA＝vB，ωA：ωB=r2：r1，TA：TB=r1：r2

兩點轉動方向相反。

3．同軸傳動

同軸傳動裝置中各點的角速度相同，轉速相同，周期相同，距轉軸上不同半徑的各點線速度大小不同，即vA：vB=r1：r2.

特别提醒：在解答傳動裝置中各物理量間的關系時，首先确定相同的量是線速度還是角速度，從而确定其他各量間的關系。齒輪傳動和鍊條傳動跟皮帶傳動相似。

【知識點3】 向心力

1．向心力的來源：向心力是根據力的作用效果命名的。可以是重力、彈力、摩擦力等各種性質的力，可以是某幾個力的合力，也可以是某個力的分力。

2．向心力的大小

F=ma=mv2/r=mω2r=mvω=m(2π/T)2r=m(2πn)2r

3．對公式的理解

(1)向心力公式既适用于勻速圓周運動，也适用于非勻速圓周運動。

(2)向心力公式具有瞬時性，即式中各量對應同一時刻。

(3)當m、ω一定時，由F知F∝r；

當m、v一定時，由F＝mv2/r 知 F∝1/r。

特别提醒：

(1)在勻速圓周運動中，物體所受的合外力一定指向圓心，充當向心力。非勻速圓周運動的合外力不指向圓心，合外力的法向分力為向心力。

(2)任何情況的圓周運動，向心力的方向一定指向圓心，向心力是做圓周運動的物體需要的一個指向圓心的力，而不是物體又受到一個新的力。

【知識點4】 向心加速度

1、向心加速度

(1)定義：任何做勻速圓周運動的物體的加速度都指向圓心。這個加速度叫做向心加速度。

(2)公式：①an＝v2/r；②an＝ω2r。

(3)方向：沿半徑方向指向圓心，時刻與線速度方向垂直。

2、向心加速度的方向及意義

（1）物理意義：

描述線速度改變的快慢，隻表示線速度的方向變化的快慢，不表示其大小變化的快慢。

（2）方向：

總是沿着圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直，方向時刻改變。

（3）圓周運動的性質：

不論加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻改變的，所以圓周運動一定是變加速曲線運動。

3、向心加速度的公式和應用

（1）公式

an＝v2/r＝ω2r＝4π2r/T2＝4π2n2r＝4π2f 2r＝ωv.

（2）an與r 的關系

圖象如圖所示：

（3）理解

①當勻速圓周運動的半徑一定時，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的平方成正比，随頻率的增加或周期的減小而增大。

②當角速度一定時，向心加速度與運動半徑成正比。

③當線速度一定時，向心加速度與運動半徑成反比。

【知識點5】 生活中的圓周運動

一、車輛轉彎

1.自行車（或摩托車）轉彎

我們在騎自行車轉彎時，有向外滑出的趨勢，地面對自行車有指向内側的靜摩擦力F1，這個靜摩擦力提供自行車轉彎時所需的向心力。

根據向心力公式有F=F1=mv2/r,從公式中可以看出，轉彎時所需的向心力與轉彎時的速率及半徑有關，如果轉彎時的速率過大，靜摩擦力不能滿足轉彎需要。

2.汽車轉彎

汽車在水平路面上轉彎時的向心力也來源于地面的靜摩擦力，根據向心力公式有F=F1=mv2/r,轉彎時所需的向心力與轉彎時的速率及半徑有關，如果轉彎時的速率過大，靜摩擦力不能滿足轉彎需要。

3.汽車在傾斜路面上轉彎

車受重力mg及路面的彈力FN作用，這兩個力的合力F水平并指向圓周彎道的圓心，充當向心力，

由圖可知：F＝mgtanθ，依據牛頓第二定律有 mgtanθ＝mv2/r。

總結：（1）路面水平時轉彎所需的向心力由靜摩擦力力提供，若轉彎半徑為r，路面與車輪之間的最大靜摩擦力為車重的k倍，汽車轉彎的最大速度為

（2)高速公路的轉彎處,公路的外沿設計得比内沿略高,若汽車以設計速度轉彎時,汽車轉彎的向心力由重力和彈力的合力提供.

4.火車轉彎

（1）火車轉彎時的特點：火車轉彎時實際是在做圓周運動，因而具有向心加速度，需要向心力。

（2）向心力的來源

①如果轉彎處内外軌一樣高，則由外軌道對輪緣的彈力提供向心力，這樣，鐵軌和車輪極易受損。

②如果轉彎處外軌略高于内軌，此時鐵軌對火車的支持力不再是豎直的，而是斜向彎道内側，它與重力的合力指向圓心，為火車轉彎提供了一部分向心力，減輕了輪緣與外軌的擠壓。适當設計内外軌的高度差，火車以規定的速度行駛時，轉彎時所需的向心力幾乎完全由重力與支持力的合力來提供。

二、航天器中的失重現象

航天員在航天器中繞地球做勻速圓周運動時，航天員隻受地球引力，引力為他提供了繞地球做勻速圓周運動所需的向心力F=mv2/R,所以處于失重狀态。

航天器繞地球做勻速圓周運動，假設它的線速度的大小為v，軌道半徑近似等于地球半徑R，航天員受到的地球引力近似等于他在地面測得的體重mg。

求：座艙對航天員的支持力為多少？

mg－FN＝mv2/r，得FN＝mg－mv2/r

當時V=

，座艙對航天員的支持力FN＝0 ，航天員處于完全失重。

正是由于地球引力的存在，才使航天器連同其中的人和物體繞地球做圓周運動。

三、豎直面内的圓周運動

1.汽車過拱形橋

質量為m的汽車在拱形橋上以速度v前進，設橋面的圓弧半徑為r，分析汽車通過橋的最高點時對橋的壓力。

汽車在豎直方向受到重力G和橋的支持力FN，它們的合力就是使汽車做圓周運動的向心力F。鑒于向心加速度的方向是豎直向下的，故合力為F=G-FN

當汽車通過橋的最高點時，根據牛頓第二定律F=ma，有F=mv2/r

所以G-FN=mv2/r

由此解出橋對車的支持力FN=G-mv2/r

汽車的速度越大，汽車對橋的壓力越小。

2.輕繩模型

輕繩隻能提供拉力，在最高點時，物體所受重力和繩的拉力的合力提供向心力，G F=mv2/r

恰好過最高點條件：F=0，此時G=mv2/r

3.輕杆模型

輕杆既能提供拉力，又能提供支持力，在最高點時，物體所受重力和杆的拉力或支持力的合力提供向心力，G F=mv2/r。

V>

時，輕杆提供拉力；V<

時，輕杆提供支持力；V=

時，輕杆恰好無作用力。

【知識點6】 離心運動和向心運動

1．離心運動的本質：由于物體具有慣性，物體做圓周運動時總有沿切線方向飛出的趨勢。

2．離心運動的受力特點：物體做離心運動并非受到離心力作用，而是外力不能提供足夠的向心力。

3．合外力與向心力的大小關系對圓周運動的影響(如圖所示)：

(1)若F合＝mrω2或F合＝mv2/r，物體做勻速圓周運動，即“提供”滿足“需要”。

(2)若F合＞mrω2或F合＞mv2/r，物體做半徑變小的近心運動，即“提供過度”，也就是“提供”大于“需要”。

(3)若F合＜mrω2或F合＜mv2/r，則外力不足以将物體拉回到原軌道上，而做離心運動，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。

(4)若F合＝0，則物體沿切線方向做直線運動。

特别提醒：

(1)離心運動不是物體沿半徑方向飛出，而是物體沿切線或沿圓與切線之間的某一曲線運動。

(2)離心運動的本質是慣性，而不是物體受到了“離心力”的作用。

4.離心現象的應用、危害與防止

(1)應用：離心幹燥器、離心分離器、脫水桶、投擲鍊球。

(2)危害與防止：車輛轉彎時易出現交通事故，拐彎時應減小速度。

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