開學了，謹以此文獻給那些勤奮好學而又默默無聞的好學生。

作者 | 重慶 辛酉醜

緯虹這學期表現有些反常，突然喜歡鑽研數學難題，放學就往鄰居家裡串，“叔叔，飛哥回家了嗎？”“阿姨，燕子放學沒有？”大人們問他有什麼事，是不是又要約人鬥地主搞賭博？他說：“不是賭博，我想和他們讨論數學題。”

有一天燕子放學回家，緯虹纏着燕子問，燕子有些不耐煩，就說：“緯虹，你自己思考吧！我的作業很多，要抓緊時間做，否則要熬夜。” 緯虹說：“就一個題，你給我講了，絕對不再打擾你。”燕子拗不過緯虹的死纏爛打，說：“真的隻講一個題嗎？拿來吧。”

緯虹寫了一個數學題：

解方程：

燕子看了看這個題，說：“緯虹，你們學校的題比我們學校的題難，我們老師不要求解高次方程。”

緯虹說：“我也不知道為什麼老師要我們解高次方程？可能想鍛煉我們的思維吧！”

“哦，原來如此！這個題可以構造一元二次方程求解。”燕子幡然醒悟，立即寫出解答過程：

又有一天，黑娃放學回家，緯虹纏着他問數學題，黑娃覺得有些奇怪，問道：“緯虹，過去都是約我們打台球、鬥地主，今天怎麼想起問數學題？” 緯虹說：“快要畢業了，你們都那樣刻苦努力，我也要拼一下，記得卓依婷的歌嗎？《愛拼才會赢》。”黑娃點頭說：“确實如此，人沒點拼勁怎麼行！你要問什麼題？”

緯虹寫了一個數學題：

漆黑的夜裡，甲、乙、丙、丁四位旅行者來到了一座狹窄而且沒有護欄的橋邊。如果不借助手電筒的話，大家是無論如何也不敢過橋去的。不幸的是，四個人一共隻帶了一隻手電筒，而橋窄得隻夠讓兩個人同時過。如果各自單獨過橋的話，四人所需要的時間分别是1、2、5、8分鐘；如果兩人同時過橋，所需要的時間就是走得比較慢的那個人單獨行動時所需的時間。

試問：如何設計一個方案，最少需要多少時間才能讓這四人盡快過橋。

黑娃心想：要使過橋時間最少，必需讓速度最快的人送電筒回來，顯然送電筒回來的人隻能是甲和乙。現在總共才4個人，可以用枚舉法找到答案。想到這裡，黑娃就在草稿紙上演算：

方案一：甲、乙、丙、丁單獨過橋的的時間分别是1、2、5、8分鐘。

第1步：先讓甲丙過去，甲送回電筒，耗時：5 1=6（分鐘）；

第2步：讓甲丁過去，甲送回電筒，耗時：8 1=9（分鐘）；

第3步：讓甲乙過去耗時2（分鐘）；

方案一總共耗時：17分鐘。

方案二：第1步：先讓甲乙過去，甲送回電筒，耗時：2 1=3（分鐘）；

第2步：讓丙丁過去，乙送回電筒，耗時：8 2=10（分鐘）；

第3步：讓甲乙過去耗時2（分鐘）；

方案二總共耗時：15分鐘。

黑娃算了兩種方案，然後對緯虹說：“從上述解答過程可以看出：要想節約時間，必需讓速度最慢的甲、乙送電筒回來，省去速度稍慢的人的過橋時間。你按這個思路一種一種驗證，就可以找到答案，我猜想15分鐘就是最短時間。不過這個問題如果推廣為N個人過橋，估計很複雜。”

再說一個星期天，緯虹在院壩遇到飛哥，他主動上去調侃，“飛哥，大家都是說你是解題高手、數學大神，我有一個數學題，我們學校所有同學都不會做，你敢不敢試一下？”飛哥是個急性子，最怕别人激他，尤其是别人拿數學難題和他打賭，他就血向上湧不服氣，哪怕熬更守夜苦戰幾天甚至專研半年也不放棄。聽緯虹這麼一說，飛哥來了興緻，立即問：“什麼難題？拿來我試試。”

緯虹寫了一個數學題：

10隻猴子一起摘了1堆桃子，它們商量決定，先睡一覺再分。過了一會，來了1隻猴子，它見别的猴子沒來，便将這1堆桃子平均分成10份，結果多了2個，就将多的這2個吃了，拿走其中的1堆。又過了一會，第2隻猴子來了，它不知道有1個同伴已經來過，還以為自己第1個到的呢，于是将地上的桃子堆起來，平均分成10份，發現也多了2個，同樣吃了這2個，拿走其中的1堆。第3隻、第4隻、…、第10隻猴子都是這樣……問這10隻猴子至少摘了多少個桃子?

飛哥看完題目，說：“這個題簡單，我在雜志上見過‘五猴分桃問題’，這個題肯定是‘五猴分桃問題’改編的，看我秒殺它！”拿出紙筆，寫出解答過程：

設這堆桃子有b₀個，10個猴子分别拿了a₁,a₂,…,a₁₀個桃子(包括吃掉的2個)，每個猴子拿走桃子後剩下桃子的個數分别為b₁,b₂,…,b₁₀。

同理

可得

所以，{b_n 18}是等比數列，則

要使

所以，這10隻猴子至少摘了10¹⁰-18個桃子。

還有一天，緯虹早早跑到黑娃家門口叫喊：“黑哥，在家嗎？”黑娃爹開門出來，“黑娃還沒回家，他說今天班上要辦牆報，晚點回來。緯虹，你有事嗎？”緯虹說：“一件小事，我想請教黑哥一個數學題。” 黑娃爹說：“熱愛學習是好事！繼續努力一定能考上好大學。是什麼難題？給叔叔看看可以嗎？”緯虹說：“我想了好幾天 ，一點思路都沒有，叔叔幫我看看吧！”

說着，緯虹把作業本給黑娃爹，上面寫了一個數學題：

長為L的木棒（L為整數）可以鋸成長為整數的兩段，要求任何時刻所有木棒中的最長者長度嚴格小于最短者長度的2倍。例如，長為4的木棒可以鋸成2 2兩段，而長為7的木棒第一次可以鋸成3 4兩段，第二次可以鋸成3 2 2，這時2 2 3三段不能再鋸。問：長為30的木棒最多可以鋸成多少段？

黑娃爹看了題目，說：“這個題确實有難度，我也沒有好方法，先按第一鋸分割的兩段木棒的長度進行分類，估計能解答。” 說完就用枚舉法一類一類給緯虹講解：

第一類：30=15 15，僅2段不能再鋸；

第二類：

每種情況僅4段不能再鋸；

第三類：

最多僅4段不能再鋸；

第四類：30=12 18

所以，最多僅6段不能再鋸；

第五類：

所以，最多僅5段不能再鋸。

綜上，最多鋸成6段。

過了一段時間，依稀記得是一個周末，小院裡突然傳來吵鬧聲，大家頗為好奇。這是文明小區、和平小院，多年來從未出現吵鬧現象，即使夫妻間拌嘴也很少。聽到吵鬧聲，左鄰右舍、大人小孩都好奇出來看究竟，原來是旺仔爹在教育旺仔，旺仔爹很生氣，一副恨鐵不成鋼的樣子，說：“仔細想一想，你是怎麼學的，這樣讀書完全是浪費學費，你看看緯虹，現在撲克都不玩了，别人多努力，今年評上三好學生了。”旺仔娘用衣襟擦了擦眼角，略帶哭聲地說：“旺仔，不要怪你爹生氣，想想爸爸媽媽上班多辛苦，幹的活比别人多，拿的錢比别人少，吃了沒文化的虧。我們希望你認真讀書，不要重複我們的路。沒有知識，身處社會底層，逛不完的菜市場，穿不完的地攤貨，這樣的人生毫無價值。”旺仔哭着說：“媽，我已經很認真很努力了，其實緯虹期末成績沒有我考得好，他今年評上三好學生，全靠他參加學校組織的‘未來星’數學擂台賽。”旺仔不說也罷，他這以說，氣得旺仔爹手指叩擊桌面咚咚響，說道：“别人都知道參加比賽，你為什麼不參加比賽？現在是競争社會呀！” 旺仔說：“我參加了比賽，那是一種群衆性比賽，人人都可以參加，總共四個題，我想了一周，隻作起兩個題，估計得不了獎就沒有投稿，緯虹運氣好，四個題全對，他得了第一名，所以，學校破格評他為三好學生。”黑娃爹問：“是不是有一個鋸木棒的問題？”旺仔說：“就是那個題最難，我想了好幾天，一點思路都沒有，全校隻有緯虹一個人作對了。”旺仔爹生氣地說：“為什麼不問問院子的叔叔阿姨？” 旺仔說：“媽媽從小教育我，自己的事情自己做，别人的事情幫忙做，媽媽的事情搶着做。在學校我是‘小紅帽’，義務執勤，在家裡幫媽媽做家務。”黑娃爹安慰旺仔爹：“榮譽是人人向往的，隻要努力就行了，沒必要為榮譽背負壓力。旺仔是個好孩子，雖然學校沒評上三好學生，其實在我們老鄰居心中，他是一個五好學生。”

（聲明：文中的人物和故事純屬虛構，如果人物姓名和某人相同，純屬巧合，請不要對号入座。）

作者簡介：辛酉醜，重慶潼南人，1991年7月畢業于西南師範大學數學系，重慶南開中學正高級教師，重慶“322”重點人才(二層次)，重慶學術技術帶頭人後備。主持省級課題2項,主研省級課題2項，參與國家級課題2項；參與編寫了大學教材《小學數學教育概論》和重慶地方教材《研究性學習》；出版專著《數學與生活》，《數學解題洩天機》，在《數學教育學報》《數學通報》等雜志發表論文70多篇，其中核心期刊20多篇；數學教育論文曾獲全國紫京杯數學教育創新論文一等獎,初等數學論文獲全國第二屆青年初等數學研究獎；指導學生在《數學通報》等雜志發表文章16篇，指導8名學生進入全國高中數學奧林匹克冬令營，中國數學會三次授予優秀教練員。近幾年在西南大學、重慶師範大學、重慶教育科學研究院、重慶第二師範學院、重慶三峽學院以及重慶部分區縣教師進修學院和一些中學主講40多場。重慶晚報、重慶晨報等媒體曾專題報道。

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傳播數學，普及大衆

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