【知識點】周期餘數：

1.題型特征：出現循環或周期，問第/過N個（天、年）。是循環分布的，比如ABCDABCD……。注意區分“第”和“過”，二者是有區别的。

2.補例1：1月1号是星期一，問1月份第16天（1月16号）是星期幾？

答：16天可以挨個數，但如果是第300天就不能數，可以按照整周期考慮，将 16 天按照 7 天一個周期去數，16/7=2……2，因此第 16 天等價于第 2 天（後邊的餘數）。起點是1月1号，是周一；第二天是1月2号，是周二，因此本題答案是周二。

3.解題思路：

（1）找周期：确定周期的起點和長度。比如補例1中，起點是1月1日，周一；長度是一周的長度，7天。

（2）算餘數：總數（N）÷周期=m個周期…餘數（n）。要求的是第16天， 16/7=2 個周期……2 天，即第 2 天。

（3）做等價：第N項就等價于該周期的第n項；過N天就等價于該周期的 過n天。等價于餘數，第16天等價于第2天，第一天是1月1号，周一，第二 天為1月2号，周二。大數不會數，但是等價于一周以内就比較好數。

4.補例2：1月1号是星期一，問再過16天是星期幾？

答：起點是 1 月 1 号，周一，長度是一周 7 天。過 16 天/7=2 個……2 天，過 16 天等價于過 2 天，從起點開始，1 月 1 号是周一，過 1 天是周二，過 2 天是周三。從起點開始，如果是“第”，則餘數是第幾天；如果是“過”，則餘數是過幾天。

5.注意：

（1）如果是整除，相當于餘0，和餘周期數是一樣的，即周期的最後一天。

（2）過n天=第n 1天，比如過1天，相當于第2天。

【知識點】周期相遇：

1.題型特征：出現多個小周期，求再次相遇。

2.解題思想：找多個小周期的最小公倍數。

3.補例：小劉每2天去一次圖書館，小凱每3天去一次圖書館，8月1日兩人同時去了圖書館，問下一次兩人同時去圖書館的日期？

答：出現兩個小周期，求再次相遇日期，小劉每次去都是2的倍數，小凱每次去都是3的倍數，兩人同時去，則既滿足2的倍數又滿足3的倍數，即多個小周期的最小周期——6的倍數，6天去一次，8月1日～8月6日是一個周期，下一次去是8月7日（過6天）。 過6天相當于第7天，不理解可以畫圖，小劉是8月1日、8月3日、8月5日、8月7日去，小凱是8月1日、8月4日、8月7日去，兩人第一次同時去是8月1日，下次同時去是過了6天，即第7天。

4.注意點：兩次相遇之間是過了一個完整周期。

5.難點：這種題目的難點是周期相遇和周期餘數結合考查。

【注意】1.每隔 n 天=每（n 1）天。

【知識點】短周期：

1.識别：周期較短（一個月左右）。

2.做法：枚舉。

【注意】1.短周期（一個月左右）問題最好畫圖，找周期思維量比較大。

【小結】周期問題：

1.周期餘數：

（1）識别：出現循環或周期,問第/過N個。

（2）做法：明确周期→計算餘數→确定結果。

（3）注意：①起點；②第和過。

2.周期相遇：

（1）識别：出現多個小周期,問再次相遇。

（2）做法：最小公倍數。

（3）注意：每隔n天=每（n 1）天。

3.短周期：

（1）識别：周期較短（小于一個月或者一個月左右）。

（2）做法：枚舉。

第八節 容斥原理

【知識點】容斥原理：難點是公式的理解，理解透徹則不難，否則會覺得比較複雜。類似高中（高一）學習的集合問題，但是我們學習的比高中簡單。

1.容斥原理本質：去重補漏。多了去掉，少了補上。

2.考查類型：兩集合容斥原理；三集合容斥原理。

3.解題方法：公式法；畫圖法。

4.兩集合容斥原理：看到兩集合，有交叉、重疊，即圖中中間的位置，為兩集合容斥原理問題。

（1）理解：将框架理解為窗框，要想給窗框糊窗戶紙，隻能有一層，先糊A，再糊 B，為 A B，則中間位置有兩層，需要揭掉一層 AB，為 A B-AB，此時還差外圍都不滿足的需要加上，得到A B-AB 都不=總數。

（2）公式：A B-AB 都不=總數。

【注意】1.畫圖法：題目中所給或所求公式裡沒有，公式法不好用（往往是出現隻滿足某一個條件）。

2.隻要題目沒有具體數據，都可以賦值（90%以上的題目）。

【知識點】三集合标準型公式：

1.判定：分别給出兩兩集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C）。給的都是“既……又……”的關系，有的時候沒有“既……又……”這兩個字，可以自行補上，對題目沒有影響。

2.公式：A B C-AB-AC-BC ABC 都不=總數。

【知識點】三集合非标準型公式：

1.判定：統一給出或求解隻滿足兩種（滿足兩種）。注意：數學中隻滿足兩種和滿足兩種是一樣的，都不包含三種的情況。

2.公式：A B C-滿足兩項-2*滿足三項 都不=總數。

3.區分：隻要看“滿足兩種”是否包含“滿足三種”的情況，如果包含，是标準型；如果不包含，是非标準型

【注意】三集合标準型與非标準型的區分：

1.标準型判定：分别給出兩兩集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C）。

2.非标準型判定：統一給出或求解隻滿足兩種（滿足兩種）。整體已經是三者加和的形式。

3.本質區分：看有沒有包含“三個都滿足”，

4.推導的時候，标準公式：-AB、-AC、-BC 的時候，還減掉了三層的部分，共減掉的三次，因此需要加上一次ABC；非标公式：滿足兩項是如圖紅色的區域，此時還沒有減去三層的，要再減去兩次三層的。

【知識點】容斥原理的方法選擇：能用公式用公式，不能用公式就畫圖。

1.公式法：題目中所給所求都是公式中的一部分。

2.畫圖法：題目中所給所求公式裡沒有，公式法不好用（往往是出現隻滿足某一個條件）。

3.畫圖法三步走：出現“隻滿足某一個條件”時運用。

（1）第一步，畫圈圈：兩集合畫兩圈，三集合畫三圈。

（2）第二步，标數字（從裡到外，注意去重）：先标最中間，最中間的定了才能标外圍。

（3）第三步，列算式。

【小結】容斥原理：

1.公式：

（1）兩集合（比較簡單）：A B-AB=總數-都不。

（2）三集合：

①标準型（分開給）：A B C-AB-AC-BC ABC=總數-都不。

②非标準型（一起給）：A B C-滿足兩項-滿足三項*2=總數-都不。

③常識公式（要麼滿足一項，要麼滿足兩項，要麼滿足三項）：滿足一項 滿足兩項 滿足三項=總數-都不。

2.畫圖（出現隻滿足某一個條件）：

（1）畫圈圈，标數據。

（2）從裡到外，注意去重。

第九節 經濟利潤

1.常用公式：

（1）利潤=售價-進價。

（2）利潤率=利潤/進價=利潤/成本。

（3）售價=進價 利潤=進價 進價*利潤率=進價*（1 利潤率）。

（4）折扣=折後價/折前價。八折為原價的80%，五折為原價的50%。

（5）總價=單價*數量；總利潤=單個利潤*數量。

（6）資料分析中利潤率=利潤/收入，數量關系中利潤率=利潤/進價，分母不同，因為成本比較難核算，因此資料分析中都是除以收入。

（7）經濟利潤平均每年考查1道，深圳平均每年考查2道，2019年深圳考查了4道。

2.常考類型：前兩類考查比較多。

（1）基礎經濟。

（2）分段計費。

（3）函數最值。

一、基礎經濟

1.解題方法選擇：

（1）已知具體價格，求具體價格（利潤、成本、售價）：列式、列方程。

（2）已知比例，求比例（利潤率、折扣）：沒有具體數值，賦值法。

2.經濟利潤問題中檔題居多，難題不會考查，但是計算量比較大，或者可能會有小坑。

二、分段計費

1.題型判定：生活中水電費、出租車計費、稅費等，每段計費不同。問：在不同收費标準下，一共需要的費用？

2.計算方法：

（1）按标準，分開。

（3）計算後，彙總。

3.補例：某地出租車收費标準為：3公裡内8元，超出3公裡，每公裡2元，小劉坐車行駛10公裡，共花費多少錢？

答：方法一：假設路程為 S，當 S≤3km 為 8 元；當 S＞3km，每公裡 2 元。 10 公裡超過了 3 公裡，因此先交 8 元。超出 10-3=7 公裡，每公裡 2 元，列式：8 （10-3）*2=8 14=22 元。

方法二：畫線段。0～3公裡為8元，S＞3公裡時2元/公裡。

三、函數最值

【知識點】函數最值：開始看着比較可怕，但技巧性比較強。

1.題型判定：單價和銷量此消彼長，問何時總價/總利潤最高？

2.計算方法（兩點式）：設提價次數為x。

（1）令總價/總利潤為 0，解得 x1、x2。

（2）當 x=（x1 x2）/2 時，取得最值。

【小結】經濟利潤：

1.基礎經濟（考查較多）：

（1）公式：

①利潤=售價-進價。

②利潤率=利潤/進價。

③折扣=折後價/折前價。

④總價=單價*個數。

（2）方法：公式法、賦值法（a=b*c三個量隻知其一）。

2.分段計費（考查比較少）：

（1）水電費、出租車費、稅費等。

（2）分段計算、彙總求和。

3.函數最值：找 x1、x2。

（1）識别：

①單價和數量此消彼長。

②求最大利潤或售價。

（2）方法：兩點式。

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