隻有五種多面體是正多面體。

證明如下：設正多面體每個頂點有m條棱，每個面都是正n邊形，多面體的頂點數是V，面數是F，棱數是E。因為兩個相鄰面有一公共棱，所以

因為兩個相鄰頂點有一公共棱，所以

又因多面體的Euler定理，得V F-E=2，從上面三式可得

要使得上面的式子成立，必須滿足2m 2n-mn>0，即1/m 1/n>1/2。因為m≥3，所以

于是n<6。

當n=3時，m<6，所以m能取的值是3、4、5；

當n=4時，m<4，所以m能取的值是3；

當n=5時，m<10/3，所以m能取的值是3。

當n=3，m=3時，V=4，F=4，E=6；當n=3，m=4時，V=6，F=8，E=12；當n=3，m=5時，V=12，F=20，E=30；當n=4，m=3時，V=8，F=6，E=12；當n=5，m=3時，V=20，F=12，E=30；所以正多面體隻有上述五種。

以上就是為什麼世界上隻有5種正多面體的經典證明。本文想讓大家對該問題增加興趣，給出另一種證明方法。在證明之前，需要先明确兩個概念問題。

什麼叫做球面上均布孔呢？

做機械工程的人，經常遇到在一個圓面上圓周陣列孔的問題。在圓面一個圓周上陣列孔的數量，最少為2個，最多有無窮多個。如果在球面上圓周陣列孔，它的數量又是多少呢？

經過我的研究，我發現在球面上圓周陣列孔的數量，隻有5種情況，分别為4個，8個，20個，6個，12個。正好與5種正多面體的頂點數量完全一緻。

為了明确球面上均布孔的概念，需要滿足以下幾個要求。

1.孔的類型和大小都是相同的，孔的基準軸都指向球心并且過球心。

2.所有孔的基準軸與球面的交點，都位于球面上，但不能都位于過球心的一個平面上。

3. 以任意一個孔的基準軸為陣列軸，周圍最小距離相鄰的孔在圓周上均布且數量相等。對于所有孔，最小距離都是相同的。

什麼叫做均分球面呢？

将球面上均布的孔，改成點，然後将所有最小距離相鄰的點用直線連接起來，得到球的内接正多面體，用所有過球心和正多面體棱的平面去分割球面，就能将球面分割成形狀和大小完全相同的曲面實體，這就叫做均分球面。

同樣的道理，均分球面的數量，隻有5種情況，分别為4個，6個，12個，8個，20個。正好與5種正多面體的面數量完全一緻。将所有最小距離相鄰的點用直線連接起來，得到球的内接正多面體，隻有5種，分别是正四面體，正六面體，正二十面體，正八面體和正十二面體。

隻有五種正多面體的solidworks軟件證明

證明如下：5種正多面體，可由均分球面得到，因此問題轉化為均分球面一共有多少種情況。點可以理解為孔的最小極限，均布點可看作均布孔的特殊情況。按照球面上均布孔的三個要求，我們開始用solidworks軟件來作草圖。

1、m=2，不可能。

在前視基準面上畫草圖，畫一個任意大小的圓，給該圓添加固定約束。我們總能找到一個均分點，讓它位于圓最上面的象限點上。

以該均分點與球心的連線作為陣列軸，在位于球面上的水平圓周上，如果隻陣列兩個點，将其中一個點轉到草圖圓上，根據圓周上兩點陣列的特點，則另一點一定也位于草圖圓上。根據均布孔要求3，分别以另外兩點與球心的連線作為陣列軸，陣列周圍最小距離相鄰的點，得到的點，顯然也都是位于草圖圓上。同樣的道理，陣列得到的所有點，也都會位于草圖圓周上，即所有點都位于過球心的前視基準面上。不能滿足均布孔要求2，因此隻陣列兩個點，不能均分球面。排除。

2、m=3，n=3，有解。

接上面，如果隻陣列三個點，将其中一個點轉到草圖圓上，根據圓周上三點陣列的特點，則另兩點一定不位于草圖圓上。

将球面上的水平圓周上的三點，在旁邊畫一個草圖，這裡的圓稱為副圓，左邊的圓稱為主圓，根據均布孔的要求，可以讓副圓上陣列相鄰點的距離等于主圓最上面象限點與陣列點之間的距離。如下圖所示：

草圖是完全定義的，說明草圖有唯一确定的解。

按照以上思路繼續畫下去，能夠畫出整個球面上的均分點，均分點的數量是4個。說明m=3，n=3，有解。

3、m=3，n=4，有解。

接上面，可以讓副圓上陣列相鄰點的距離大于主圓最上面象限點與陣列點之間的距離，假如過主圓最上面象限點和副圓上相鄰兩點的平面上，存在第四個點，那麼該平面内的4點，按照最小距離連接起來，是一個正方形或者菱形。過球心向四邊形作垂線，垂足設為O點，可求證得到O點到四邊形各頂點的距離相等，因此四邊形不可能是菱形，而是正方形。正方形對角線長度等于邊長的√2倍。如下圖所示：

草圖是完全定義的，說明草圖有唯一确定的解。

按照以上思路繼續畫下去，能夠畫出整個球面上的均分點，均分點的數量是8個。說明m=3，n=4，有解。

4、m=3，n=5，有解。

接上面，假如過主圓最上面象限點和副圓上相鄰兩點的平面上，存在第四個點和第五個點，那麼該平面内的5點，按照最小距離連接起來，是一個五邊形。過球心向五邊形作垂線，垂足設為O點，可求證得到O點到五邊形各頂點的距離相等，因此五邊形是正五邊形。正五邊形對角線長度等于邊長的倍。如下圖所示：

草圖是完全定義的，說明草圖有唯一确定的解。

按照以上思路繼續畫下去，能夠畫出整個球面上的均分點，均分點的數量是20個。說明m=3，n=5，有解。

5、m=3，n≥6，不可能。

接上面，假如過主圓最上面象限點和副圓上相鄰兩點的平面上，存在另外三個點，那麼該平面内的6點，按照最小距離連接起來，是一個六邊形。過球心向六邊形作垂線，垂足設為O點，可求證得到O點到六邊形各頂點的距離相等，因此六邊形是正六邊形。正六邊形較短的對角線長度等于邊長的倍。如下圖所示：

草圖是無法找到解的，說明m=3，n=6，不可能畫出整個球面上的均分點。

至于為什麼無解呢？因為副圓上陣列相鄰點的距離等于副圓半徑的倍，又要求該距離等于主圓最上面象限點與陣列點之間的距離的倍，說明主圓最上面象限點與陣列點之間的距離等于副圓的半徑。在主圓草圖上的那個三角形顯然是直角三角形，斜邊大于直角邊，即主圓最上面象限點與陣列點之間的距離大于副圓的半徑。相互矛盾。因此這種情況不可能。

m=3，n=7時，正多邊形的内角越來越大，主圓最上面象限點與陣列點之間的距離越來越比副圓的半徑小，這是不可能的。因此m=3，n≥6，均不可能。

6、m=4，n=3，有解。

接上面，如果隻陣列四個點，将其中一個點轉到草圖圓上，根據圓周上四點陣列的特點，則另三點一定位于草圖圓的象限上。

根據均布孔的要求，可以讓副圓上陣列相鄰點的距離等于主圓最上面象限點與陣列點之間的距離。如下圖所示：

草圖是完全定義的，說明草圖有唯一确定的解。

按照以上思路繼續畫下去，能夠畫出整個球面上的均分點，均分點的數量是6個。說明m=4，n=3，有解。

7、m=4，n≥4，不可能。

接上面，可以讓副圓上陣列相鄰點的距離大于主圓最上面象限點與陣列點之間的距離，假如過主圓最上面象限點和副圓上相鄰兩點的平面上，存在第四個點，那麼該平面内的4點，按照最小距離連接起來，是一個正方形或者菱形。同理可證該四邊形是正方形。正方形對角線長度等于邊長的√2倍。如下圖所示：

草圖是欠定義的，軟件獲得的解是，副圓上的陣列點與主圓最上面象限點幾乎重合，說明m=4，n=4，不可能畫出整個球面上的均分點。

至于為什麼這樣呢？軟件在計算的時候，有時會無法找到解，有時也會出現這種副圓半徑幾乎為0的解。副圓半徑為0，意味着任何倍數關系都成立，數學上有解，但是這種情況是不可能繪出球面上均分點的。副圓上陣列相鄰點的距離等于副圓半徑的倍，又要求該距離等于主圓的最上面象限點與陣列點之間的距離的倍，說明主圓最上面象限點與陣列點之間的距離等于副圓的半徑。在主圓草圖上的那個三角形顯然是直角三角形，斜邊大于直角邊，即主圓最上面象限點與陣列點之間的距離大于副圓的半徑。相互矛盾。因此這種情況軟件計算的解，要麼是無法找到解，要麼是0解。

m=4，n=5時，正多邊形的内角越來越大，主圓最上面象限點與陣列點之間的距離越來越比副圓的半徑小，這是不可能的。因此m=4，n≥5，均不可能。

8、m=5，n=3，有解。

接上面，同理，我們得到草圖如下：

草圖是完全定義的，說明草圖有唯一确定的解。

按照以上思路繼續畫下去，能夠畫出整個球面上的均分點，均分點的數量是12個。說明m=5，n=3，有解。

9、m=5，n≥4，不可能。

以n=4為例，同理，我們得到草圖如下：

草圖是無法找到解的，說明m=5，n=4，不可能畫出整個球面上的均分點。同理，m=5，n≥5，均不可能。

至于為什麼無解呢？還是因為主圓最上面象限點與陣列點之間的距離小于副圓的半徑。因此不可能有解。

綜上我們使用solidworks軟件将均分球面所有有解的情況都找到了，分别如下：

1. 當m=3，n=3，時，均分點的數量是4個，均分球面4個；
2. 當m=3，n=4，時，均分點的數量是8個，均分球面6個；
3. 當m=3，n=5，時，均分點的數量是20個，均分球面12個；
4. 當m=4，n=3，時，均分點的數量是6個，均分球面8個；
5. 當m=5，n=3，時，均分點的數量是12個，均分球面20個。

将球面上的均分點連接起來，就得到正多面體了，分别是正四面體，正六面體，正十二面 體，正八面體和正二十面體。

由以上證明或者驗證可知，均分球面，隻有5種情況有解，5種情況對應5種正多面體，因此正多面體隻有5種。

本文主要讓大家理解球面上均布孔和均分球面的概念，引起對正多面體感興趣，為均分球面和正多面體的三維繪圖，提供了一個設計思路。

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