第6.1講 平面向量的概念

教材知識鍊接

1．向量的定義及表示

(1)定義：既有大小，又有方向的量稱為向量．

(2)表示

2．零向量和單位向量

(1)始點和終點相同的向量稱為零向量，零向量在印刷時，通常用加粗的阿拉伯數字零表示，即0；書寫時，通常用帶箭頭的阿拉伯數字零表示，即0→，零向量的模為0，即|0|＝0.零向量本質上是一個點，因此可以認為零向量的方向是不确定的．

(2)模等于1的向量稱為單位向量．e是單位向量的充要條件是|e|＝1．

3．相等向量：把大小相等，方向相同的向量稱為相等的向量，記作a＝b.

4．向量平行或向量共線：

如果兩個非零向量的方向相同或者相反，則稱這兩個向量平行．因為零向量的方向不确定，因此通常規定零向量與任意向量平行．兩個向量a和b平行，記作a∥b，兩個向量平行也稱為兩個向量共線．

知識點一、向量的有關概念

【典例1-1】　給出下列六個命題：

①若兩個向量相等，則它們的始點相同，終點相同；

②若|a|＝|b|，則a＝b；

③若＝，則四邊形ABCD是平行四邊形；

④在平行四邊形ABCD中，一定有＝；

⑤m＝n，n＝k，則m＝k；

⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.

其中不正确的命題的個數為(　　)

A．2　　　 B．3　　　　

C．4　　　 D．5

【解析】　兩個向量始點相同、終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，卻不一定有始點相同、終點相同，故①不正确．根據向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因為A，B，C，D可能落在同一條直線上．零向量方向不确定，它與任一向量都平行，故⑥中若b＝0，則a與c就不一定平行了．因此⑥也不正确．

答案：C

對向量的有關概念的理解要全面、準确，要注意相等向量與共線向量(或平行向量)之間的區别和聯系；零向量的長度為零，方向不确定，解題時一定要注意這一特殊向量．

【跟蹤訓練1-1】1．(多選)下列說法錯誤的是(　　)

A．有向線段與表示同一向量

B．兩個有公共終點的向量是平行向量

C．零向量與單位向量是平行向量

D．單位向量都相等

解析：向量與方向相反，不是同一向量；有公共終點的向量的方向不一定相同或相反；單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故A，B，D錯誤．零向量與任何向量都是平行向量，故C正确．

答案：ABD

知識點而、向量的幾何表示

【典例2-1】　(1)如圖的方格由若幹個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有定點A，點C為小正方形的頂點，且||＝，畫出所有的向量.

(2)已知飛機從A地按北偏東30°的方向飛行2 000 km到達B地，再從B地按南偏東

30°的方向飛行2 000 km到達C地，再從C地按西南方向飛行1 000 km到達D地．

①作出向量，，，；

②問D地在A地的什麼方向？D地距A地多遠？

【審題指導】　(1)先确定起點A，然後确定方向，依據模為确定向量的終點C.

(2)求向量的方向問題時，可根據直角三角形知識求解．

【素養立意】　本題考查向量的幾何表示及應用，突出考查直觀想象核心素養．

【解析】　(1)畫出所有的向量，如圖所示．

(2)①由題意，作出向量，，，，如圖所示．

②依題意知，三角形ABC為正角形，所以AC＝2000 km，又因為∠ACD＝45°，CD＝1000，所以△ACD為等腰直角三角形，即AD＝1000 km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的東南方向，距A地1000 km.

用有向線段表示向量的方法

(1)用有向線段表示向量時，先确定起點，再确定方向，最後依據向量模的大小确定向量的終點．

(2)必要時，需依據直角三角形知識求出向量的方向(即夾角)或長度(即模)，選擇合适的比例關系作出向量．

【跟蹤訓練2-1】．一輛汽車從點A出發，向西行駛了100公裡到達點B，然後改變方向，向西偏北50°的方向行駛了200公裡到達點C，最後又改變了方向，向東行駛了100公裡達到點D.

(1)作出向量，，；

(2)求||.

解：(1)如圖所示．

(2)由題意知與方向相反，所以與共線，所以在四邊形ABCD中，AB∥CD，又因為||＝||，

所以四邊形ABCD為平行四邊形，

所以||＝||＝200(公裡)．

　向量相等與向量共線(變通探究)

【典例3-1】　(課本例1，例2拓展)如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形．

(1)找出與向量相等的向量；

(2)找出與向量共線的向量．

【解析】　(1)由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形，知，與的長度相等且方向相同，所以與向量相等的向量為和.

(2)由圖可得：，，與方向相同，，，，與方向相反，所以與向量共線的向量有，，，，，，.

【變式探究】　在本例中，找出與向量的模相等的向量．

答案：，，，，

向量相等與向量共線的探求方法

(1)尋找向量相等：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再确定哪些是同向共線．

(2)尋找向量共線：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．

【跟蹤訓練3-1】.如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中點．

(1)寫出與共線的向量；

(2)寫出與的模的大小相等的向量；

(3)寫出與相等的向量．

解：(1)因為E、F分别是AC、AB的中點，

所以EF綊BC.又因為D是BC的中點，

所以與共線的向量有，，，，，，.

(2)與模相等的向量有，，，，.

(3)與相等的向量有與.

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