【試題來源】

2020-2021學年度包頭市青山區初三年級第一學期期末考試數學試題25題

如圖,已知四邊形ABCD為正方形,AB =4√2,點E為對角線AC上一動點，連接 DE、過點E作EF丄DE.交BC點F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

（1）求證:矩形DEFG是正方形；

（2）探究:CE CG的值是否為定值？若是，求出這個定值;若不是,請說明理由。

【知識點分析】

此題是以正方形為載體的有關四邊形的綜合問題，主要考查了以下知識點：

（1）正方形的性質與判定；

（2）三角形的全等的性質及判定；

（3）同角或等角的餘角相等；

（4）作出适當的輔助線；

（5）和為定值的合理轉化（轉化思想）。

【思路分析】

（1）第一問要證明矩形DEFG是正方形，而在矩形基礎上證明正方形的判定方法有兩個，一是有一組鄰邊相等的正方形是矩形，另一個是對角線互相垂直的矩形是正方形，觀察此圖我們會優先考慮證明有一組鄰邊相等的情況，而證明線段相等通常是考慮證三角形全等或者等腰三角形等邊三角形等有相等線段圖形中的相等線段，顯然此題需要證明三角形全等，此時我們便可考慮作垂直的輔助線構造兩個全等的三角形（△EMF和△END）.要想證明這兩個三角形全等，作完輔助線後易得一組對應角相等（∠EMF=∠END=90°），另外也容易證明四邊形EMVN為正方形，從而得出一組對應線段相等（EM=EN），已知一邊一角對應相等，我們證明全等的方法便隻有邊角邊以及角邊角，此題如果用邊角邊來證明，另一邊相等的情況不易得出，而另一角觀察可以發現利用同角的餘角相等得出，進而證明三角形全等，後面過程也就迎刃而解。

（2）第二問是一道探究線段和是否為定值問題，通常此類問題的做題思路為先假設問題是成立的，進而證明即可。既然假設問題成立，那麼通常線段的和可以轉化為一條定線段。觀察圖形我們會發現似乎CG=AE，那麼如果CG=AE，我們便可證明CE CG的值為定值，此時問題轉化為證明線段CG、AE是否相等了，證明線段相等的思路第一問我們已經闡述，此問不再贅述，通過觀察圖形發現似乎△CGD≌△AED，那麼我們利用已有的條件便可得出，進而此問得解。

【試題詳解】

解：(1)如圖所示.過E作EM丄BC于M點，過E作EN丄CD于N點.

因為正方形ABCD,

所以∠BCD = 90°. ∠ECN =45°.

所以∠EMC =∠ENC = ∠BCD = 90°，NE = NC

所以四邊形EMCN為正方形

所以EM = EN, ∠DEN ∠NEF = ∠MEF ∠NEF = 90°,

所以∠DEN= ∠MEF.

又因為∠DNE = ∠FME=90°.

在△DEN 與△FEM 中

因為∠DEN = ∠FME，EN = EM ,∠DEN = ∠FEM

所以△DEN≌△FEM( ASA).

所以ED = EF,

又因為四邊形DEFG是矩形，

所以矩形DEFG為正方形.

(2) CE CG的值為定值.理由如下：

因為矩形DEFG為正方形.

所以DE = DC,∠EDC ∠CDG=90°,

因為四邊形ABCD是正方形.

所以AD = DC,∠ADE ∠EDC=90°,

所以∠ADE = ∠CDG,

在△ADE與△CDG中

因為AD = CD ，∠ADE ＝∠CDG，DE=DG

所以△ADE≌ACDG(SAS).

所以CG=AE

所以CE CG=AE CE=AC=√2AB=√2×4√2 = 8,

所以CE CG=8是定值.

【解題建議】

遇到綜合性性問題，不要恐慌，大家可以先梳理題目中涉及的知識點，回憶知識點的相關内容及聯系，然後從問題入手尋找解決問題的思路，隻要大膽心細知識紮實，此類問題也不會有太大的難度。

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