求三角形周長面積的題-tft每日頭條

求三角形周長面積的題

生活更新时间:2025-02-07 16:28:15

一道求三角形邊長的題

在三角形ABC中， AB=86， AC97，一個以A為圓心， AB長為半徑的圓交于BC點X，且BX和CX有整數長度，BC的長是多少？

求三角形周長面積的題（一道求三角形邊長的題）1

解：根據題意畫出草圖如下，顯然AX=86，讓BX=x, CX=y,

求三角形周長面積的題（一道求三角形邊長的題）2

在三角形ABX中利用餘弦定理：

求三角形周長面積的題（一道求三角形邊長的題）3

在三角形AXC中利用餘弦定理：

求三角形周長面積的題（一道求三角形邊長的題）4

兩個式子相減有：

求三角形周長面積的題（一道求三角形邊長的題）5

此外根據等腰三角形ABX有

cosα=x/172

帶入上面的式子有：

（97 86）(97-86)=(x y)y

即：

183x11=(x y)y

因為x和y都是整數，現在考察y能否等于11，如果y=11, 那麼因為AX=86，則有

AX CX=86 11=97=AC，不滿足三角形AXC的構成條件，即兩邊之和大于第三邊，所以y不能等于11，

又有183x11=61x33=(x y)y

且61是質數，所以僅有一種可能：

有y=33, x y=61,

因此x=61-33=28,

所以BC的長度為61.

解法2：利用圓的割線定理，如下圖：

求三角形周長面積的題（一道求三角形邊長的題）6

求三角形周長面積的題（一道求三角形邊長的題）7

由于：

求三角形周長面積的題（一道求三角形邊長的題）8

這樣：

求三角形周長面積的題（一道求三角形邊長的題）9

會有四對組合：

求三角形周長面積的題（一道求三角形邊長的題）10

因為CX>13, 所以隻有：

CX XB=61

後記：上面提到的割線定理是初中幾何中可以很容易證明的一個定理，利用兩個三角形相似即可證明，參見下圖。

求三角形周長面積的題（一道求三角形邊長的題）11

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