【考試要求】

能夠運用正弦定理、餘弦定理等知識方法解決一些與測量、幾何計算有關的實際問題.

【知識梳理】

1.仰角和俯角

在同一鉛垂平面内的水平視線和目标視線的夾角，目标視線在水平視線上方叫仰角，目标視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).

2.方位角

從正北方向起按順時針轉到目标方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為α(如圖2).

3.方向角：正北或正南方向線與目标方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.

4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.

【微點提醒】

1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形内角之間的關系弄混.

2.解決與平面幾何有關的計算問題關鍵是找清各量之間的關系，從而應用正、餘弦定理求解.

【考點聚焦】

考點一　求距離、高度問題

角度1　測量高度問題

【規律方法】

1.在處理有關高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關鍵.

2.在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.

3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題.

角度2　測量距離問題

【規律方法】

1.選定或确定要創建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一确定三角形中求解.

2.确定用正弦定理還是餘弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.

考點二　測量角度問題

【規律方法】

1.測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中标出有關的角和距離，再用正弦定理或餘弦定理解三角形，最後将解得的結果轉化為實際問題的解.

2.方向角是相對于某點而言的，因此在确定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.

考點三　正(餘)弦定理在平面幾何中的應用

【規律方法】

1.把所提供的平面圖形拆分成若幹個三角形，然後在各個三角形内利用正弦、餘弦定理求解.

2.尋找各個三角形之間的聯系，交叉使用公共條件，求出結果，求解時要靈活利用平面幾何的性質，将幾何性質與正弦、餘弦定理有機結合起來.

【反思與感悟】

利用解三角形解決實際問題時：(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數模型中，要确定相應參數和自變量範圍，最後還要檢驗問題的實際意義.

【易錯防範】

在三角形和三角函數的綜合問題中，要注意邊角關系相互制約，推理題中的隐含條件.

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