作者：邵紅能（科普作家，上海市城市科技學校）

來源：《知識就是力量》雜志

三角形按角分有直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形。除了咱們課本中學過的這些，你還知道哪些呢？相信你絕對沒有聽過彭羅斯三角形。

彭羅斯三角形最早是由瑞典藝術家奧斯卡·羅特斯維爾德在1934年制作。英國數學家羅傑·彭羅斯及其父親遺傳學家列昂尼德·彭羅斯設計并推廣此圖案，并在1958年2月份的《英國心理學月刊》中發表，稱之為“最純粹形式的不可能”。

彭羅斯是誰？

彭羅斯原全名羅傑·彭羅斯，是英國著名數學家、理論物理學家、爵士、牛津大學教授，為物理學、數學和幾何學做了很多貢獻。他還是霍金的生前好友。從1965直到1970年，霍金和彭羅斯組成一個黑洞和嬰兒宇宙的研究小組，兩人一道将奇點的存在性證明推廣到更加一般的情況，包括早期宇宙。

▲羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）

彭羅斯先後進入倫敦大學隸屬中學和倫敦大學學院，在劍橋讀研究生的第二年，參加了在阿姆斯特丹召開的國際數學家大會。在那裡，他對演講者手中的目錄冊封面産生了興趣。冊子的封面是一幅畫，埃舍爾的畫《晝夜》，畫裡的鳥兒在向着相反的方向飛行，景色的一邊是黑夜，另一邊是白晝。彭羅斯被它迷住了，于是，就問演講者是從哪裡搞到的。演講者說這幅畫是埃舍爾的作品《晝夜》。于是，彭羅斯就被這些不同于任何自己所見過事物的詭異而奇妙的畫面深深地吸引了。他決定自己嘗試着畫一些不可能有的景緻，結果就想出了這個被稱作為三杆的東西。這是一個看上去像是三維物體的三角形，但事實上它不可能是三維的。後來，他在雜志上發表了一篇文章，對埃舍爾表示感謝。‍

彭羅斯階梯

彭羅斯階梯也是一個有名的幾何學悖論，指的是一個始終向上或向下但卻無限循環的階梯，可以被視為彭羅斯三角形的一個變體。這是一個由二維圖形的形式表現出來的擁有4個90°拐角的四邊形樓梯。由于它是個從不上升或下降的連續封閉循環圖，所以，一個人可以永遠在上面走下去而不會升高。據說，這些圖案也是受到了荷蘭畫家埃舍爾那些不可能出現于現實的詭異畫面啟發而創作的。彭羅斯階梯不可能在三維空間内存在，但隻要放入更高階的空間，彭羅斯階梯就可以很容易的實現。如同莫比烏斯環、克萊因瓶。

▲《盜夢空間》中的彭羅斯階梯。

彭羅斯貼磚

彭羅斯是一位大膽而充滿豪情的學者，他對單一的圖形和重複不那麼感興趣，而對無窮的變化興味盎然。準确說來，他感興趣的是一類“非周期性”貼磚。

1974年，他創造了一套具有革命意義的貼磚樣式，這套貼磚，能夠以永不重複的方式鋪滿在無窮平面上。它們由若幹塊組成一套，可以嚴絲合縫地鋪滿無窮大的平面，而構成的圖案又不會重複。這可是一個難題，因為他不能使用具有二、三、四、六條對稱軸的圖形（如矩形、正三角形、正方形和正六邊形），這些圖形在無窮大的平面上會鋪成周期性的重複圖案。這就意味着彭羅斯隻能依靠那些會在平面上留下縫隙的圖形，也就是那些具有禁用對稱性的圖形。8年後的1982年，以色列晶體學家丹尼爾·謝赫特曼發現，某種金屬合金的原子排列與之前測量的其它結果都不一樣。後來，彭羅斯獲得了數學圈中少有的公衆知名度，謝赫特曼則赢取了諾貝爾獎。這兩位學者，都違抗人類的直覺，改變了我們對自然結構的基本認識，并揭示了從高度有序的環境中出現無盡變化的可能性。

▲由“風筝”和“飛镖”組成的圖案，看似規律，其實永遠不會自我重複

以此為基礎，彭羅斯發明了一組以他名字命名的彭羅斯貼磚。我們知道，瓷磚都是長方形或正方形的，因為我們可以用這些磚将整個地面鋪滿。可以用于貼磚的還有正三角和正六邊形，這些貼磚貼出的圖案有一個共同的地方，就是不但具有一定的對稱性，還有周期性。還有些形狀的磚是不能用來緊密地貼滿地面的，例如正五邊形。其實還可以用幾種不同形狀的貼磚貼滿整個地面，我們将這樣的一組幾何形狀稱之為貼磚。有些特别的貼磚不僅可以用來貼滿平面，貼出來的圖案有很多種，而且不可能具有周期性，這類貼磚叫做非周期貼磚。在彭羅斯之前，通常的一組非周期貼磚含有很多不同的形狀，即使在彭羅斯發現以他的名字命名的隻有兩個形狀的貼磚的同一年（1974年），最好的非周期貼磚也隻含有六種不同的形狀。

▲彭羅斯貼磚在建築上的應用——美國舊金山公交樞紐大樓

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