數學使我清醒，思考使我快樂！

忍着劇烈的牙痛，用了很大的腦力和體力來詳細解析了立體幾何和拓撲學中著名的“多面體歐拉公式”（即任意多面體的“點”、“線”、“面”的數量關系：

V（頂點數） F（平面數）-E（棱數）＝2）這一足以和“勾股定理”、“圓的面積公式”等著名數學發現齊名的定理。

對于這個定理的證明，從歐拉時期到現在，所有文獻中出現的證明方法應該不超過5種，其他的都是這幾種證明方法的“變種”。歸納起來無外乎：1.法國數學家勒讓德的“球面多邊形”法，也是高中人教版選修教材中引用的方法。2.立體圖形拉伸為平面圖形法。3.依次增加或減少頂點和面，類似于“幾何學中的數學歸納法”。

今天我用的是比較巧妙的“投影等價變換法”。還是這種方法網上早就有，但是無論百科還是論壇，都或過于簡略或過于深奧，究其原因就是沒有從平面幾何向立體幾何進行“溫柔的過渡”。

好在我從三個最簡單的定理模型開始引申：1.多邊形内角和公式；2.多面體所有面的邊數和＝多面體棱數的2倍；3.立體圖形向平面圖形“投影”的圖形等價量問題。從這三個問題開始，深入淺出、逐一解析，最終得出最後的結論。

說一些感想：在數學發展的曆程裡，有四個人被公認為“對人類數學和自然科學做出了最偉大的貢獻”，這四個人分别是：阿基米德、歐拉、高斯、牛頓。如果沒有這幾個人，人類數學和自然科學發展至少要停滞1000多年，更别提航海、航天、建築學和計算機網絡。何為“偉大的靈魂”？以他們為代表的數學家和自然科學工作者就是。

如果以後再有人對你說：“數學和物理學到初中就可以了，再往上就沒有用了，因為買菜、炒股、做銷售、倒騰二手房、拼酒确實用不着高等數學。”那麼你可以和這種人絕交了。不在一個頻道上的人，因為價值觀和胸懷眼界的差異，即使都在社交圈裡進行着虛僞的表演，到頭來也不會得到彼此的尊重。

說回到歐拉大神和“多面體歐拉公式”。從已知的數學史文獻裡，一般認為歐拉的成名之作有三個：一是在不到20歲時解決了著名的“巴塞爾問題”，即自然數倒數的平方和的極限計算：（1/1方 1/2方 1/3方 •• 1/n方）。當n為無限大時這個數列的結果是發散（沒有極限）還是收斂（趨于一個定值）的。當時數學屆統一認為這個結果是發散的，因為人的本能認為隻要遞增數列項數無窮大，那麼結果肯定不會趨于定值。而歐拉大神用巧妙的“無窮級數”法給“巴塞爾”問題畫上了完美的句号。最終結果竟然是令人驚訝的π方/6。

歐拉在數學屆成名的同時，也讓人們認識到了無窮級數和自然數相關的數列竟然和圓周率“π”這個無理數有關。

而歐拉另一個最為人熟知且鮮有人悟得精髓的公式就是著名的代數學上的“歐拉公式”：e（自然對數底數）的iπ次方 1＝0。這是被公認的完美度僅次于“麥克斯韋方程組”的“完美公式”。裡面包含了自然對數底數e(2.71828•••)、i(虛數單位)、π（圓周率）、0和1（自然界最基本的數）這幾個元素。

而“多面體（或球面）歐拉定理”和“七橋問題”一同成為歐拉大神在幾何和拓撲學中的“封神之作”。“七橋問題”不多介紹，網上多得是，好多奧賽和益智遊戲都來自于它。

今天寫了8張黑闆的就是歐拉大神最早提出的“多面體歐拉定理”的一種證明方法。

這個定理為推動歐氏幾何（裡面的歐不是歐拉，而是歐幾裡得）和拓撲學的發展起到了很大的作用，不隻是公式本身，更重要的是歐拉那種從“上帝視角”剖析幾何問題本質的天賦。與其說這是一種靈感，更不如說這有可能是上帝給予他的恩賜。

當幾何學在二維平面圖形向三維立體圖形發展的時候，每個人都感覺雖然二維和三維隻差了一個維度，但卻感覺像是從一個清澈見底的小溪進入了深不可測的海洋。由于立體幾何畢竟不像平面幾何那樣直觀線性，在摸索立體圖形的相關性質定理時就顯得吃力得多，于是“天降大任”于歐拉，由他給立體幾何和拓撲學搭建了最初的模型。

“天才是99％的汗水加上1％的靈感”這句話用在所有的數學“天才”上再合适不過。你隻聽說牛頓發現了萬有引力，不知道的是那是源于他艱苦卓絕的演算和對宇宙模型的理解。你隻知道歐拉在“歐拉定理”、“無窮級數”、笛卡爾在解析幾何中的“神來之筆”，不知道的是那是他在用掉多少箱草稿紙後的“正常操作”。

所以說迄今為止人類雖觸碰到了宇宙世界億萬分之一的奧秘，但仍有無數偉大的公式定理等着你們去發現。科學研究是一個繼承和發揚的過程，隻有以偉大的前人為榜樣，最大限度地吸收他們留下的燦若繁星的知識精華，才能讓科學和真理的光輝照耀在人類發展的道路之上。

下附證明過程。

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