核心素養視域下的數學整體知識教學

——以“加減乘除是一家”為例

一、關注教學内容的整體組織

教學内容是落實課程教學目标、發展學生數學核心素養的載體。一方面，教師應重視對教學内容的整體分析，了解數學知識的産生與來源、數學知識的結構與關聯、數學知識的價值與意義。另一方面，教師應在教學中引導學生在數學概念、原理、法則之間構建有效的認知，體會不同教學内容之間的一緻性和可遷移性，從而學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題。

加、減、乘、除四則運算一直是第一學段數學教學的重點内容，現行教材一般在一年級上冊就開始教學加法和減法的意義及運算，然後在二年級上冊正式教學乘法和除法的意義及運算。關于四則運算的數值範圍，從一年級開始在自然數範圍内螺旋式上升地編排四則運算内容，從三年級開始逐步擴展到分數、小數的四則運算。當學生在二年級學習結束時，如何把四則運算的意義進行整體性關注和一緻性教學？夏永立老師從計數與運算的關系入手，整體設計和組織了本節課的教學内容。

一節課隻有40分鐘，要把分散在兩個年級裡面多個單元的數學知識進行整體性教學，難度很大，這就需要教師對教學内容進行整體組織。夏老師以一根數線（如圖1，小學階段尚未正式引入“數軸”這一概念）貫穿整節課，把加、減、乘、除法的基本含義和内在聯系進行了整體性教學。

夏老師首先讓學生在數線上移磁扣，體驗加法和減法運算之間的互逆關系。學生通過形象具體的教具移動，利用簡約和直觀的素材，明确了加減法的含義: 加法就是繼續往後數的計數策略，減法就是倒着數的計數策略。

在初步溝通了加、減法之間的内在聯系後，夏老師進一步讓學生在數線上操作和理解乘、除法（如圖2和圖3）：

在學生分别建立了加法和減法、乘法和除法之間的關系後，夏老師再進一步溝通乘法和加法、除法和減法之間的内在聯系，即“乘法是特殊的加法”“除法是特殊的減法”，由此學生逐步體驗到“加減乘除是一家”。課末由正數拓展到負數（圖4），在激發學生的探究欲望的同時也為學生将來的學習埋下伏筆。

二、關注核心問題的整體引領

數學核心素養的落實離不開核心問題的引領，《義務教育數學課程标準（2022版）》中明确地将“發現問題、提出問題”作為與“分析問題、解決問題”并列的重要目标。一般的數學課堂，學生發現和提出問題的機會并不多，而教師則經常提出衆多駁雜的“問題”。因此如何通過核心問題引領教學成為有效學習的前提和保證。

衆所周知，問題是數學的心髒。在該課教學中，夏老師既沒有由老師過多地講述與灌輸，也沒有一味地讓學生操作與探索，而是一直讓學生思考三個核心問題：我是誰？家在哪？還去哪？在這些富有哲思的核心問題的引領下，學生厘清了數學知識的内在聯系,實現認知圖式的自我建構。

有了核心問題的整體引領，還需要通過具體問題來促進學生不斷探索與思考四則運算的本質。

⑴在教學加法和減法的含義和相互關系時，分别提問：在數線上，0的“家”在哪？0 1的新“家”又在哪裡？它（圓形磁扣）怎樣回到原來的“家”？比較兩次移動的過程，有什麼相同和不同的地方？

⑵在溝通加法和乘法的關系時，提問：剛才移動磁扣的時候，都是一格一格地移，還可以怎麼移？幾格幾格地移，除了列加法算式還可以用什麼運算？有了加法運算為什麼還要學習乘法？

⑶在溝通除法和減法的關系時，提問：磁扣從8開始，向左2格2格地移，回到原來的家（0），你能想到什麼算式？除法的含義是什麼？你能用箭頭表示除法和減法的關系嗎？

⑷在教學乘法和除法的含義和相互關系時，提問：進行乘法和除法計算時，在數線上移磁扣有什麼相同和不同的地方？乘法和除法有什麼聯系？

⑸在學生理解四種運算的含義以及運算之間的聯系後，通過核心問題引發學生深度思考：加、減、乘、除法四種運算之間有着怎樣的關系？

在上述核心問題的引領下，學生把曾經零散習得的四則運算知識進行了系統整理，不僅對加、減、乘、除法各自的含義有了更加清晰的認識，還認識到加法運算是所有運算的源頭和基礎，四則運算之間具有整體性，運算的本質是計數，計數與計算之間具有内在一緻性。可見，有了核心問題的引領，學生的學習就有了目标和方向，知識的理解和掌握就有了結構化的特征。

三、關注深度學習的整體建構

從廣義知識分類的角度來看，本課所學習的知識屬于“有組織的整體知識”（吳紅耘、皮連生主編《學與教的心理學》一書，華東師範大學出版社2020年版，第112頁），即是指“圍繞某個主題或者按照一定的關系組織起來的一整塊的知識”。該課是對加、減、乘、除法四則運算的系統整理與提升，不是單一的命題或事實，而是屬于典型的“一整塊”知識。這類知識學習的重點目标是理解。用奧蘇伯爾的同化理論解釋，理解的本質是原有的适當觀念同化新的知識，影響這類知識學習的唯一最重要條件是原有知識及其組織的特征。

從心理學角度看，促進有組織的整體知識學習的重要外部條件是提高學習材料的“可懂度”，即通過有效的策略加工，把抽象的數學知識形象化，以順應兒童的年齡特征和認知規律，也就是把“學術形态的數學”轉化為“教育形态的數學”，把“冰冷的美麗”轉化為“火熱的思考”。夏老師精心設計了促進學生深度學習的教學策略，主要體現在以下三種：

一是采用直觀遊戲活動。遊戲是孩子的天性，興趣是最好的老師。在全課教學中，夏老師充分發揮了遊戲化、活動化教學的優勢，隻用了一個看上去不起眼的磁扣，引導學生在數線上不斷操作，進而在有趣的數學活動中理解四則運算的意義以及它們之間的内在聯系。夏老師還注意變換遊戲活動的形式，除了有教師的直觀示範，也有個别學生的操作演示，還有全體學生的獨立操作與合作交流，以及遊戲活動前後的猜測、驗證和對比、評價。這樣的活動教學，相當于給學生一把智慧的鑰匙，打開了數學學習之門，真正享受數學思考的樂趣。

二是采用數形結合方式。數學家華羅庚在六十年前就指出“數無形時少直觀，形缺數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休”。要讓二年級學生深入理解運算的含義，除了借助直觀的操作活動，還離不開數形結合的方式。夏老師通過直觀操作，幫助學生建立起磁扣移動的格子數、方向與計數、運算之間的内在聯系，促進學生由動作圖式過渡到具體運算圖式，進而發展為抽象運算。以此利用簡約的教學素材幫助孩子實現深度的數學理解，從而促進孩子數學思維的發展。

三是采用符号标志技術。所謂符号标志技術，是指在學習材料中加入未增加實際内容的标志或詞語，以強調材料的概念結構和組織的技術。本課學習的知識是典型的“有組織的整體知識”，因此特别需要通過這種凸顯學習材料結構和關系的技術來促進學生深度理解。夏老師全課除了采用動态的磁扣移動，幫助學生在頭腦中形成動态表象，還通過半抽象半直觀的數線圖幫助學生在計數中理解計算，又利用闆書的不同顔色、線條和符号标記等，圖文并茂地突出内容要點，使學生能夠選擇适當的信息，清楚四則運算之間的結構性和整體性聯系，進而把零散的運算概念建構成清晰的認知結構，體會不同運算之間遵循的共同規律，感悟不同運算的内在一緻性。

四、關注教學闆書的整體設計

我國本輪基礎教育課程改革已經進行了20年有餘，無論是教育理念的更新還是教學方式的創新，始終方興未艾。然而改革過程中我們也發現，很多教師重視了教學方式的變革，重視了教學手段的更新，重視了教學内容的重組，重視了學習過程的體驗，重視了學習結果的評價，但是對闆書設計的重視遠遠不夠，有時甚至出現整堂課不闆書一個字，或者隻是電子虛拟的課件式闆書一閃而過，使得學生一堂課學下來并不能把握知識重點，更形成不了認知體系，制約了學生數學思維的發展和數學素養的形成。因此，我們應該充分認識到課堂闆書的重要價值。

筆者欣喜地看到夏老師在這節課中十分注重闆書的設計與教學（如圖5）。

上述的闆書設計具有結構性和整體性：既有直觀的數線以及可以移動的磁扣，也有具體的運算算式及得數；既有四則運算的典型舉例，也有四則運算之間的内在關聯；既有抽象的數字和符号，也有形象的線條與箭頭；既有學習的知識内容，也有學習的問題提出。這樣的闆書，在有痕的提示中引領學生尋找知識之間的連接點，将碎片化的知識連成線、結成網、築成塊；在無痕的提升中促進學生建立起結構化思維，形成了完整的認知結構。

筆者認為，闆書是一節課的整體思路與框架，是課堂教學的運行線索與結構，也是教師教學智慧的寶貴結晶和創造，值得教師進行更多的研究與實踐。在此，讓我們重溫《義務教育數學課程标準（2011版）》“教學建議”中對闆書的定位：“在應用現代信息技術的同時，教師還應注重課堂教學的闆書設計。必要的闆書有利于實現學生的思維與教學過程同步，有助于學生更好地把握教學内容的脈絡。”

作者：徐斌（蘇州大學實驗學校）

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