微積分的本質及原理?幻灰龍（零），今天小編就來聊一聊關于微積分的本質及原理?接下來我們就一起去研究一下吧!

微積分的本質及原理

幻灰龍

（零）

科學上最重要的是科學的方法，而不是科學的結論

正是因為科技的這個特點，因此，科技進步都是一步一個腳印做出來的，在科研中，方法遠比結論重要得多

不是。大學數學，通常來說會教微積分，線性代數；數學系的話對應的是數學分析和高等代數。這兩個課程，最核心的其實還是對基本概念的理解，以及對重要方法的掌握。

（一）

2015/01/30

微積分課程首次讓你需要理解極限的概念，這在高中是沒有這種東西的，這就是一次腦洞大開的機會；其次，微積分符号的引入，讓你用符号簡化複雜的極限表述，還記得加減乘除麼？還記得三角符号麼？每一次運算符号的引入，都是在新的抽象層上做新的“四則運算”，然而隻要你需要，你随時可以把它降低維度，展開成更低更具體的表示，積分是什麼？是求面積，是求和，的極限；接着，數系的擴張，從小到大我們都在算數:整數，自然數，分數，小數，然後遇到了無限不循環小數—派，有理數，無理數，實數，複數，大學數學會介紹為什麼自然數和有理數一樣多，為什麼無理數才是實數軸的霸主，為什麼實數不能用自然數去一個一個的數，并非所有的無窮大都一樣大;然後你會遇到處處連續處處不可導函數這樣的事情，于是分析就被柯西統治了;歐拉為了讓我們腦洞大開，随便湊了好多無窮級數，泰勒為了偷懶就總是把可微函數線性展開……

線性代數，就是為了解方程組，引入了向量和矩陣。就像前面說的，依然是從四則運算開始，不過你會發現矩陣乘法不再可交換了，左乘右乘代表不同變換了。向量空間呢，對了，數學的空間和時間空間的空間是啥關系呢？腦洞大開的時候，理解向量空間的基，向量空間中的向量都是基的線性組合（表出），然後接觸更多各種空間，什麼酉空間，柚子？？

其實我想推薦一般拓撲學，可惜非數學系居然不上這麼能讓人腦洞大開的學科……

夜深，睡覺。

（二）

2015/03/07

同事買了一套《微積分和數學分析引論》作為他家新書架的入品書籍，便于哪天他兒子突然對數學好奇後有一套好的書可以看。他說要把家裡的舊的他自己以前用的同濟版的那些書都清理掉，然後聽說這套“R.柯蘭 F.約翰”合著的書不錯，就買了，讓我先看一遍，看看如何。

第一章過了一遍，這一章基本上就是為進入微積分做準備，一開始就從實數連續統開始讨論，不過這本書比通常的教科書好的一點是并沒有死闆地采用引理、推理、定理、證明的模式一路走到黑，枯燥死你。在闡釋概念上的陳述更易于接受。整章從頭到尾都穿插着：從有理數到實數的擴張。

首先，第一個重要的概念：區間套。也貫穿始終。但作者一開始就限制在有理數上使用區間套：任何一個有理數都可以用一個有理數區間套定義。

然後，第二個重要的概念：極限。作者一步步從數的領域、數列的極限、函數的連續性、函數的一緻連續性上反複加深對極限概念的理解。結合區間套和極限，最後引出任何一個實數都可以由一個區間套定義。完成了從有理數到實數的擴張。

其次，第三個重要的概念：連續。在這本書裡的陳述是比較更容易被接受的，相對而言比較自然地使用了ε-δ方法，同時反複出現的“幾乎處處”這個字眼也在上下文裡得到比較令人滿意的說明。

最後在解釋函數的概念之後，全面讨論了：有理函數、代數函數、三角函數、指數函數、對數函數、複合函數、反函數這些初等函數，其實可以看到函數的形式也和數系一樣是一個為了滿足運算合法性（封閉）而不斷擴張的過程。

在補篇裡則把通常的數學分析課程裡關于實數連續統，關于函數連續性，關于上下界的定理做了一次最小化的介紹（有趣的是，其中也介紹了有理數可數的性質，以及如何數，與之相關是關于實數不可數的對角線反證法）。篇末則是一堆練習題，在大學裡的學生還是應該系統的做一遍，俺當年做過了就不再繼續了。

（三）

2015/03/10

P134"積分和微分是微積分學中兩種基本的極限過程";“微分和積分這兩種過程是彼此互逆地聯系着的”；P135“最後，直到19世紀，在通過嚴謹地表述極限概念和分析了實數的連續統後，才使微積分的基本概念得到澄清”。

如果函數是可積的，則其積分是和的極限。積分基本法則：可加性、邊界估計、積分中值定理、廣義積分中值定理。這裡可以看到這些基本法則的推導都是把積分還原到極限形式去證明，然後利用極限和求和的基本性質在低一階的抽象層上做推導，最後再提升回更上層的積分抽象層；

這裡就體現了數學研究裡的一個基本規律：将高層抽象降階到低層抽象表示，然後利用低層抽象的性質證明其中關系，最後升階到高層抽象，從而完成高層抽象的一些基本法則，一旦通過這種方式完成幾條基本的高層抽象法則的證明，則可以在這幾條法則的基礎上推導高層抽象的其他衆多引理、推理、定理等。

另外一方面，和軟件工程一樣，存在抽象洩漏，所以你總是可能在某些時候再次的将高層抽象降階導低層抽象去做點東西。最後，積分中值定理和被積函數的算數平均的極限聯系在一起，廣義積分中值定理則和被積函數的加權平均的極限聯系在一起。你看到抽象層了嗎？最後從定積分引出不定積分函數，這很正常，數學裡每一次抽象層的提升，都會在新抽象層上定義函數來研究。

如果函數是可微的，則其微分是差商的極限。微分基本法則：加法分配律、線性律、微分中值定理；微分和函數的關系：可微函數必連續、可微函數的李譜希茨連續性。當然，最開始引入微分一般都是從導數的幾何意義開始的，有些高中課程也會介紹這個。微分作為積分的逆運算，和積分是同一個抽象層的概念，其相關基本法則的證明也都會降階到差商的極限去證明。

微積分基本定理，嚴格界定微分積分是互逆運算。而補篇裡則在求和的極限這個抽象層上嚴謹的證明了連續函數的定積分的存在性。這種在低階抽象層證明高階抽象層性質的活動在數學工作裡是基本的，也是數學系學生區别于工科學生學習數學（一般隻停留在掌握定理定律解題的層面，物理系的則一般要求和數學系無差别）的地方。

不過雖然這章很多地方叙述說牛頓和萊布尼茲發明微積分的時候把無窮小量直接當作某種神秘的數去對待在數學上是不嚴謹和迷糊的，但曆史是輪回的，有趣的是20世紀的時候，有人就是把無窮小量和無窮大量當作實在的數，在擴張了的實數連續統--超實數連續統裡反而極大的簡化了數學分析的系統推導。

（四）

2015/03/12

今天是植樹節。JHJNR5。

“P227:雖然積分問題通常比微分問題更為重要，但是微分問題在形式上卻要比積分問題容易一些。因此，自然的做法是：首先掌握微分可能遇到的各種類型的函數的微分方法，然後根據微積分基本定理，利用微分法的結果來計算積分。”

作為互為逆運算的一對，這做法真是天衣無縫。數學裡也常常這麼做，利用可通過變換互相轉化的兩種形式，來解決在某種形式上比較困難的問題。這章說的是微分法和積分法，顧名思義便是對微分和積分的基本法則及其應用做進一步展開。

微分法基本法則：

乘以常數、乘數的導數、萊布尼茲法則、有理函數的微分法、三角函數的微分法反函數的導數、N次幂函數的反函數N次根、多值性的三角函數、反正弦和反餘弦、反正切和反餘切、指數函數、複合函數、鍊式法則、廣義微分中值定理、雙曲函數和反雙曲函數；最大值和最小值問題。再次看到了，數學裡經常在升級了一個抽象層之後，立刻在這個抽象層上重新做“四則運算”的讨論。一旦我們知道了微分，我們從初等函數、三角函數...到複合函數的所有已知運算形式在微分下的表現做了一番系統研究和運用。

積分法基本法則：

首先，從積分的反面微分入手：

“由初等函數反複經過有理運算，即加法、減法、乘法、除法以及通過做反函數的運算和複合函數的運算，可以構造出及其廣泛的一類函數，這樣構造的函數形成一類所謂'顯式函數'或‘封閉表達式’，每一個顯式函數都可微分，其導數仍是顯式函數”。

然後抛出問題：

“因此，我們已經相當完善地掌握了微分運算的‘算術計數’，但是其逆過程即積分，一般來說是更為重要的，并且存在較大的困難。”

幸運的是，我們有：

“這種困難在一定程度上已經被微積分基本公式所克服。”

曆史的彎路：

“在微積分發展的初期，許多數學家試圖以明顯的形式或封閉的形式來求出每一個給定顯式函數的積分或原函數。過了一段時間之後，人們才明白這個問題在原則上是不能解決的，甚至相反，對于一些十分初等的被積函數，其積分都不能通過初等函數來表示。因此需要研究由初等函數通過積分過程産生的各種新型函數，從而就大大促進了數學分析的發展。”

這種人類直覺導緻的曆史的彎路在很多學科的研究中都經常見到，很多時候我們總是希望一個問題的結果應該具有我們想象的那種形式，然而很多時候，在經曆一番彎彎曲曲的折騰之後，才發現原來不是這樣的，問題是可以解決的，隻不過形式不是我們想象的那樣，比如尺規作圖不能問題（三等分角...）。直覺有時美妙，卻有時錯的離譜。不過正是因為直覺的強烈，我們才有打破砂鍋問到底的叠代，直到再一次地突破迷霧。

“但是，要求以明顯的形式表示給定顯式函數的積分，而不是無望的糾纏于繁瑣的查閱積分表或者數值積分，便引出了一些簡單的積分法，這些積分法可以靈活的變換給定積分的形式。”“即使不能用這些方法來積分，積分還會是存在的（至少對一切連續函數如此），而且實際上可以通過數值方法進行積分，并能達到任何所要求的精度”

所以說，數學分析裡的積分法很多時候隻是把不知道表示為不知道，隻是為了腦洞大開所做的訓練。真實工程裡會遇到的積分，那都得靠數值積分去算。這章後面就基本是一路解題了。

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