這是百度上看到的天津中考數學模拟幾何題，老師說全班全軍覆沒。越是難題越令人興奮，于是做了一下。
△ABC是直角三角形，D是BC上一點，AB=12，AD=13，∠CAD=45°，求CD長。
先用三角函數做一下，很快可以得出結果。
顯然BD=5。設∠BAD=α，CD=x。我們有：
tanα=5/12，①
tan(45° α)=(x 5)/12，即
(1 tanα)/(1-tanα)=(x 5)/12。②
①代入②得：
17/7=(x 5)12，解得x=169/7。
天津中考數學模拟幾何題
現在用幾何方法做一下。
為了利用45°角，首先想到作DE⊥AC。則AE=DE=13/√2，CE=√(x²-13²/2)。
用勾股定理列方程：
12² (5 x)²=(13/√2 √(x²-13²/2))²
化簡得：
119x²-1690x-28561=0
解方程就可以得到x=169/7。
這個方程數據比較大，需要一點計算功力。
再來看老師的解答。老師開始也作了輔助線DE⊥AC，說不好求放棄了。然後作下圖輔助線，利用相似三角形邊長成比例求出，很好的方法。這裡也利用了有45°角的直角三角形直角邊相等。
老師的解答
總結一下：容易想到怎樣作輔助線，列出方程也不難，解方程數據大要花點時間，考驗學生的計算能力，不至于像老師所說的全班全軍覆沒吧。高中生用三角函數可以輕易求出。
從這題可以看出，利用45°角有兩種方法作成直角三角形。一是垂線法，直接用45°角邊上的一個點作垂線；二是延縮法，延縮45°角的一條邊使其和45°角的對邊成90°角。下次碰到45°角我們就可以這樣作輔助線去試一下，看看有沒有用。
學習就是要不斷地總結、吸收、消化、利用，通過大量解題實踐掌握各種數學方法的原理。
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