畢達哥拉斯（Pythagoras）是公元前6世紀的古希臘先賢，是希臘的哲學家和數學家。他的教育思想建立在哲學和科學理論基礎上。畢達哥拉斯學派的教育思想推動了後世人們對崇高精神生活的追求；它是哲學史和教育史上的一大進步。

畢達哥拉斯認為："萬物皆數"，數是萬物之"本""，隻有通過數字才能對自然現象進行解釋。在衆多的學派中，畢達哥拉斯學派對"形數"的研究最為突出，該項研究強烈地反映了他們将數作為幾何思維元素的精神，有效地印證了"凡物皆數"的觀點。

那什麼是形數呢？即有形狀的數。畢達哥拉斯學派研究數的概念時，常常把數看成砂子或小石子，用它們進行各式各樣的排列來研究數學。如用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，等等，小石子可以擺成不同的幾何圖形，從而就産生了一系列的形數。

據阿爾基塔說，菲羅勞斯的學生歐律托斯就是用師石代表數，用卵石的數目表示事物。卵石計數法在古代是一種被普遍使用的計數方法，這可以從古代形成的文字中看出，拉丁文"Calculus"含有卵石和計算的意思。正是畢達哥拉斯學派采用卵石計數法進行數學研究，所以他們獲得與這種計數方法有關的一些研究成果。

古希臘的畢達哥拉斯學派把自然數看成是點的集合，尤其對可以排成三角形、正方形的數情有獨鐘，把它們稱為"三角形數"和"正方形數"。

三角形數：

即構成正三角形的點數，

正方形數：

即構成正方形之點數。實際上就是自然數的平方。另一種說法是正方形數是兩個相繼三角形數之和，圖示如下：

長方形數：凡複合數中非恰好是正方形數者為長方形數。

多角形數：五角形數、六角形數、……。完全數：若某數恰好等于它所有因數（包括1，但不包括該數本身）之和。例如，6=1×2×3=1 2 3，28=1 2 4 7 14，496……

盈數：若某數大于其因數之和稱為盈數。虧數：某數小于其因數之和稱為虧數。

親和數（或友數）：若一數是另一數的因數之和，反之亦然，則該兩數為親和數。例如，284與220是親和數，因為220的因數1，2，4，5，10，11，20，

22，44，55，110，其和為284，而284的因數1，2，4，71，142之和是220。

如果把三角形數：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，… "一層一層摞起來"，就可以形成"四面體數"：1，4，10，20，35，56，84，120，…

同樣，如果把正方形數：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，… "一層一層摞起來"，就可以形成"金字塔數"：1，5，14，30，55，91，140，204，…

雖然曆史片斷沒有提供精确的年代數據，這一點卻是無疑的，即畢達哥拉斯學派發展并完善了自己的認識。他們開始把數字理解為抽象概念，而物體隻不過是數字的具體化。有了這一後來的特性，我們可以明白菲洛勞斯（Philolaus）的論述："如果沒有數和數的性質，世界上任何事物本身或與别的事物的關系都不能為人所清楚了解…。"

1.（2020•安徽模拟）如圖，一定數量的石子可以擺成如圖所示的三角形和四邊形，古希臘科學家把數1，3，6，10，15，21，……稱為"三角形數"；把1，4，9，16，25，……稱為"正方形數"。同樣，可以把數1，5，12，22，……，稱為"五邊形數"，

将三角形、正方形、五邊形都整齊的由左到右填在所示表格裡：

（1）按照規律，表格中a＝____，b＝_____，c＝______；

（2）觀察表中規律，第n個"五邊形數"是　　。

【解答】：（1）∵前6個"三角形數"分别是：

【點評】此題主要考查了圖形的變化類問題，要熟練掌握，解答此類問題的關鍵是首先應找出圖形哪些部分發生了變化，是按照什麼規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律後直接利用規律求解。探尋規律要認真觀察、仔細思考，善用聯想來解決這類問題。

2.（2019秋•門頭溝區期末）古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常用小石子擺成各種形狀來研究數學問題。

如圖1，由于這些三角形是由1個，3個，6個，10個，…小石子擺成的，所以他們稱1，3，6，10，…，這些數為三邊形數；類似的，如圖2，他們稱1，4，9，16，…，這樣的數為四邊形數。

（1）既是三邊形數，又是四邊形數，且大于1的最小正整數是_____；

（2）如果記第n個k邊形小石子的個數為M（n，k）（k≥3），

那麼易得M（1，3）＝1，M（2，3）＝3，M（2，4）＝4。

①M（3，3）＝_____；M（9，4）＝______；

②M（n，3）＝_____；M（n，4）＝_____；

③如果M（n，3）＝55，那麼n＝_________；

【解析】：（1）∵1，3，6，10，…，這些數為三邊形數，1，4，9，16，…，這樣的數為四邊形數，∴既是三邊形數，又是四邊形數，且大于1的最小正整數是36；故答案為36；

（2）①根據題意得，第3個三角形數是6，第9個四邊形數是92＝81；

故答案為6、81；

通過形數，畢達哥拉斯學派在世界數學史上首次建立了數和形之間的聯系，有效地印證了該學派"萬物皆數"的觀點。自然數、三角形數、正方形數、四面體數、金字塔數之間，還有一些奇妙的性質。比如：

1、從1開始的連續自然數的立方和，等于相應的三角形數的平方。如,

從1開始的前3個自然數的立方和是13＋23＋33＝1＋8＋27＝36，而第3個三角形數是6，62也等于36。從1開始的前5個自然數的立方和是13＋23＋33＋43＋53＝1＋8＋27＋64＋125＝225，而第5個三角形數是15，152也等于225；

2、任意兩個相鄰的三角形數的和，都是正方形數。如， 三角形數1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，…中，3＋6＝9，21＋28＝49，45＋55＝100，而9、49、100都是正方形數； 而下面這條新的性質就更加難以想像： 　

3、任意兩個相鄰的四面體數的和，都是金字塔數。如，四面體數

1，4，10，20，35，56，84，120，…中，1＋4＝5，4＋10＝14，10＋20＝30，20＋35＝55，35＋56＝91，56＋84＝140，84＋120＝204，而5、14、30、55、91、140、204都是金字塔數。

三角形數、正方形數、四面體數、金字塔數，都是自然數的化身。自然數就是這樣，既樸實無華又奧妙無窮。

最簡單的幾何形數就是下圖所示的三角形數，它們依次為1、1 2、1 2 3、1 2 3 4 …，第n個三角形數是 1 2 3 … n = n(n 1) /2

他們特别喜歡第四個三角形數，因為它的三邊數字之和是4，而畢達哥拉斯學派認為自然是四元性的，例如幾何學中的點、線、面、體，構成物質世界的土、水、氣、火四種元素等，他們用一個抽象的概念 "四象"加以概括。

第四個三角形數10在畢達哥拉斯學派那裡更有特殊的意義，他們相信10是一個理想數目，代表整個宇宙，可由10種對立統一的範疇來描述，即奇與偶，一與多，左與右，直與曲，正方與長方，有界與無界，雄與雌，善與惡，動與靜，光明與黑暗。 晚期畢達哥拉斯學派斷言移動的天體共有10個，宇宙的中心是一團火球（非火星），地球、太陽、月亮、五大行星，以及恒星所在的天球都圍繞它旋轉，這樣一共是9個球，還有一個反地球位于中心火球的另一面以相同于地球的速度旋轉，因此地球上的人看不見它。古希臘沒有中國、印度那樣好的記數制度，因此畢達哥拉斯的幾何形數在某種程度上扮演着代數與數論的作用。

畢達哥拉斯學派還發現了數與音樂之間的神秘關系，比方說一根拉緊的弦彈出的音調是do,那麼取其長度的一半，彈出的音調就是高一均的do,如取原長的2/3,彈出的音調就是so.這幾個音一起彈奏是悅耳的，所以叫諧和或調和。1/2,2/3,1這三個數的倒數2，3/2,1成等差數列，那麼原來的三個數1/2,2/3,1就叫做調和數列，這就是調和數列名稱的起源。

他們發現了數與音樂和諧之間的關系，發現了數與幾何圖形之間的關系，發現了數與天體運行的關系。

也因此畢達哥拉斯學派的學習課程分為四科：數的絕對理論，算術；數的應用，音樂；靜止的量，幾何；運動的量，天文。稱為四道。而中國古代有四術：詩、書、禮、樂。中西方交相互映。

下面是美國數學史家莫裡斯•克萊因《古今數學思想》中給出的更多例子。

正方形數，依次為1, 4, 9, 16 … n2。如上圖在某個正方形數内畫一條斜線，可知兩個相鄰的三角形數之和等于一個正方形數即 (n/2)(n 1) [(n 1)/2](n 2) = (n 1)²。

如圖在正方形數内畫一條成直角的折線，折線内側是一個正方形數，外側就是相應的矩形數，可以看出 n² (2n 1) = (n 1)² 和1 3 5 … (2n-1) = n²。

一般地說，作出平方數n²的圖形之後，再鑲上一個曲尺形

的邊，點數是2n 1，就得到下一個平方數.即n² （2n 1）=（n 1）².

上圖畢達哥拉斯正方形矩形，圖曲尺形叫做薯折形（gnomon），這字的原意是指一根直立的杆，觀測日影的位置以定時刻，也就是日.後來和水平尺連起來，構成一個畫直角的工具，同時也可以測日影.在中國叫做"矩"，它的用處很大，現今仍然是木工不可或缺的器具.在歐幾裡得《幾何原本》中，馨折形的意義有所推廣，它指在平行四邊形的一個角上截去一個相似的平行四邊形後所剩下的圖形，如圖4的陰影部分.後來再進一步推廣。類似地，可用點子排出下面圖形中五角（邊）數，六角（邊）數等等.

還有多邊形數，如下圖的五角（邊）數，六角（邊）數。第n個五邊形數是

1 (1 3) (1 2•3) (1 3•3) …= (3n²-n)/2 ，第n個六邊形數是

1 (1 4) (1 2•4) (1 3•4) …= n(2n-1) 。

畢達哥拉斯學派的學者甚至将這種數形結合的思想推廣到三維空間，從而構造出了立體數。例如，前四個三棱錐數為

于是，第n個三棱錐數為

由此可見，畢達哥拉斯形數是多麼神奇和神秘，充滿了無窮的魅力。

1796年7月10日，數學家高斯在日記中寫道： "ErPHKA! num＝△＋△＋△"。這裡的ErPHKA是希臘文"發現"或"找到"的意思。到底是什麼發現讓高斯如此興奮？原來他找到了"自然數可表示為三個三角形數之和"的證明（num為數的縮寫，△表示三角形數）。

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