求不定式極限最常用的方法，是利用洛必達法則，即對分子分母同時求導，再求極限。洛必達法則可以重複運用，直至求出極限為止。但是有些不定式極限，反複運用洛必達法則求解，可能相當繁瑣，比如下面這個不定式極限：

求lim(x->0)(cosx-e^(-x^2/2)/x^4).

解1：【我們先來看看，運用洛必達法則是怎麼求的。為了條理更清楚，下面采用拆解的方法】

因為(cosx-e^(-x^2/2))’=-sinx xe^(-x^2/2)->0 (x->0),

(-sinx xe^(-x^2/2))'=-cosx e^(-x^2/2)-x^2e^(-x^2/2)->0 (x->0),

(-cosx e^(-x^2/2)-x^2e^(-x^2/2))'=sinx-xe^(-x^2/2)-2xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2)=sinx-3xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2)->0 (x->0),

(sinx-3xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2))'=cosx-3e^(-x^2/2) 3x^2e^(-x^2/2) 3x^2e^(-x^2/2)-x^4e^(-x^2/2)=cosx-3e^(-x^2/2) 6x^2e^(-x^2/2)-x^4e^(-x^2/2)->-2 (x->0),

即(cosx-e^(-x^2/2))^(4)=-2,

又(x^4)^(4)=(4x^3)"'=(12x^2)"=(24x)'=24，

所以原極限=-2/24=-1/12.

如果您覺得上面這種方法也挺簡單的，那也可以堅持用這種方法的。不過下面利用麥克勞林公式求解的方法，肯定要簡便得多的。

解2：【利用麥克勞林公式的關鍵是熟記常用函數的麥克勞林展開式，其中】

cosx=1-x^2/2! x^4/4! … (-1)^m*x^(2m)/(2m)! o(x^(2m)),

e^(-x^2/2)=1-x^2/2 x^4/(2^2*2!) … (-1)^m*x^(2m)/(2^m*m!) o(x^(2m)),

取m=2, 【即2m=4, 隻需保持與分母的次數相同就可以了】

則原極限=lim(x->0)(x^4/24-x^4/8)/x^4=1/24-1/8=-1/12. 【這裡其實仍運用了洛必達法則的思想，低次項求四階導數後，肯定等于0，無窮小量的極限也等于0，所以它們都被省略掉了】

兩種方法比較一下，明眼人都能看得出來，利用麥克勞林公式的方法要簡便得多。不過運用麥克勞林展開式求極限有一個前提，那就是x必須是趨于0的。

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