空間幾何體的外接球問題探究

文/強哥

【摘要】盡管新課标對球的考查降低了要求，球面距離在考試中已經不會出現，現在的高考對多面體與球的考查是非常基礎的，但這并不意味着可以忽視這部分的教學，在平時的教學中發現，隻要是與球有關的問題，學生都無從下手，因此将空間幾何體的外接球問題的類型及解法進行多方面的探讨。

【關鍵詞】高中數學；空間幾何體；外接球；球心

空間幾何體的外接球問題是高考試題的熱點問題之一，因為與球有關的幾何體很難直觀地作出圖像，所以這類問題對學生的空間想象能力以及化歸能力要求很高。下面介紹幾種與空間幾何體外接球有關的問題，并歸納總結确定外接球球心的常見方法。

一．求球的内接幾何體問題

将立體幾何問題化歸為平面幾何問題是重要的解題方法，因此在空間幾何體中尋找平面是主要的解題方法，從不同角度分析截面，歸納有效的平面，設球心到截面的距離為

，截面圓的半徑為

，球的半徑為

，則有

。

例1.（2012年新課标理11）已知三棱錐

的所有頂點都在球

的求面上，

是邊長為

的正三角形，

為球

的直徑，且

,則此棱錐的體積為（ ）

【解析】

的外接圓的半徑

，點

到面

的距離

為球

的直徑

點

到面

的距離為

此棱錐的體積為

。

例2. （2011年新課标理15）已知矩形

的頂點都在半徑為4的球

的球面上，且

,則棱錐

的體積為 。

【解析】設ABCD所在的截面圓的圓心為M,則AM=

,

OM=

，

。

二．求空間幾何體的外接球

1．與長方體有關的外接球問題

長方體從一個頂點出發的三條棱分别為

，則體對角線長為

，幾何體的外接球直徑

為對角線長

，即

因此将多面體“補”成長方體（正方體）是研究多面體外接球的常用的辦法。

（1）三條棱兩兩垂直的幾何體的外接球

例3. （2008年福建理15）若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為

，則其外接球的表面積是____.

【解析】由題意，可以構造一個正方體,其體對角線就是外接球的直徑,則其外接球的半徑

于是其表面積

例4.三棱錐

中，

平面

，

，若

，則該三棱錐的外接球的體積是 。[來源:學科網ZXXK]

【解析】“補體”，将三棱錐補成長方體，如圖所示：

它的對角線PC是其外接球的直徑，所以

故它的體積為：

（2）正四面體的外接球

例5. （2006年山東理12）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點，将△ADE與△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則P－DCE三棱錐的外接球的體積為（ ）

A．

B.

C.

D.

【解析】有題設可知，三棱錐

為棱長是1的正四面體，其外接球的半徑為

，于是三棱錐外接球的體積為

（3）相對棱兩兩相等的四面體的外接球

例6.四面體

中，

求四面體

外接球的表面積.

【解析】由題意，可将四面體

補成棱長分别為3,4,5的長方體，長方體的外接球即為四面體

的外接球，所以其外接球的半徑

所以四面體

外接球的表面積為

2.具有公共斜邊的直角三角形的幾何體的外接球

利用直角三角形斜邊中點到各頂點距離相等這個原理，若幾何體是由有公共斜邊

的幾個直角三角形組成，那麼斜邊中點就是幾何體外接球球心.

例4．方法二：“找球心”（到三棱

錐四個頂點距離相等等的點）.注意到

是

和

的公共的斜邊，

記它的中點為

，則

，即該三棱錐的外接球球心為

，半徑為1，故它的體積為

例7.如圖，平面四邊形

中，

，

，将其沿對角線

折成四面體

，

使平面

平面

，若四面體

頂點在同

一個球面上，則該球的體積為( )

A.

B.

C.

D.

【解析】由已知可求得

因為

又因為

，所以

的中點為球心，所以半徑

球的體積

三．一般三棱錐的外接球

一般幾何體的外接球問題是難點，要找出球心即到各個頂點距離相等的點，需充分利用多邊形外接圓圓心到多邊形頂點距離相等原理，再結合軌迹知識從而找到球心.

例8.已知三棱錐的三視圖如右圖所示，則該幾何體的外接球的體積為（ ）

【解析】由三視圖可知，幾何體底面是頂角為

，底邊長為

的等腰三角形，所以其外接圓的直徑

球心到截面距離

所以外接球半徑

外接球體積

四．其它特殊幾何體的外接球

正棱錐、正棱柱、圓錐、圓柱這些特殊幾何體的外接球問題，也是高考的重點内容之一，要充分利用這些特殊幾何體的性質，尤其是對稱性，找到球心位置，從而求出外接球的體積或表面積.

例9.（2008年新課标理15）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為

，底面周長為3，則這個球的體積為 ．

【解析】因為正六邊形周長為3，得邊長為

故其主對角線為1，從而球直徑

所以球的體積

.

例10.（2010年新課标理10）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為

，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為( )

A.

B.

C

.

D.

【解析】根據題意條件可知三棱柱是棱長都為

的正三棱柱，上下底面中心連線的中點就是球心，則其外接球半徑為

球的表面積為

例11.正四棱錐

的五個頂點在同一球面上，若該正四棱錐的底面邊長為4，側棱長為

，則這個球的表面積為 .[來

【解析】正四棱錐

的外接球的球心在它的高

上，

記為

，

或

（此時

在

的延長線上），在

中，

得

，∴球的表面積

例12.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為___________.

【解析】由三視圖可知，幾何體是圓錐，該圓錐的外接球球心在高所在直線上，球心到圓心的距離

或

，所以

得

，∴球的表面積

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