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考情分析

三角形内外角平分線的的概念是處理與角相關問題的基本依據和方法，在中考題中經常利用角平分線的性質去證明角或者線段的相等，三角形的全等。最近幾年題型出現創新性變化，比如利用角平分線的對稱性把圖形翻折，再進行推理計算。形式變了，解題思想的精髓還在。

角平分線四大基本題型分析

已知P是∠MON平分線上的一點，

1.若PA⊥OM于點A，如下圖所示，可以過點P作PB⊥ON于點B，則PB=PA。

圖中有角平分線，可以向兩邊作垂線。

2.若點B是射線ON上任意一點，如下圖所示，可以在OM上截取OA=OB，連接PA，構造△OPA≌△OPB。

圖中有角平分線，以角平分線為對稱軸，構造全等三角形。

3.若AP⊥OP于點P，如圖c所示，可以延長AP交ON于點B，構造△AOB是等腰三角形。P是底邊AB的中點。

有角平分線有垂線，可試找三線合一。

4.過點P作PQ∥ON交OM于點Q，如下圖所示，可以構造△POQ是等腰三角形。

有角平分線和平行線，構造等腰三角形得出更多的邊角關系。

如圖1，RT△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CD于點F。

（1）求證：CE=CF。

（2）将圖1中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，使點E'落在BC邊上，其它條件不變，如圖2所示，試猜BE'與CF有怎樣的數量關系？證明你的結論。

點撥

第1問主要考察一個模型“雙垂直 角平分線”，可得等腰三角形。

第2問遇到角平分線通常考慮過角平分線上一點向角的兩邊作垂線，所以過點E作AC的垂線，構造全等三角形解題。也可以過點F作AB的垂線。

（1）證明：∵AF平分∠CAB,

∴∠CAF=∠EAD,

∵∠ACB=90°,

∴∠CAF ∠CFA=90°,

∵CD⊥AB于D,

∴∠EAD AED=90°,

∴∠CFA=∠AED,

∵∠AED=∠CEF,

∴∠CFA=∠CEF,

∴CE=CF；

（2）BE′=CF．

證明：如圖,過點E作EG⊥AC于G,

∵AF平分∠CAB,ED⊥AB,

∴ED=EG．

由平移的性質可知：D′E′=DE,

∴D′E′=GE,

∵∠ACB=90°,

∴∠ACD ∠DCB=90°

∵CD⊥AB于D,

∴∠B ∠DCB=90°,

∴∠ACD=∠B,

在Rt△CEG與Rt△BE′D′中,,

∴△CEG≌△BE′D′,

∴CE=BE′,

由（1）可知CE=CF,

∴BE′=CF．

對于涉及角平分線的問題，解題時常需作适當的輔助線，構成等腰三角形，然後運用有關性質來解決。還有就是利用角平分線為角的對稱軸這一對稱性來求解的，實質上就是對稱問題了。

思考

已知，點P是∠MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，将射線PA繞點P逆時針旋轉交射線ON于點B，且使∠APB ∠MON=180°。

（1）利用圖1，求證：PA=PB；

（2）如圖2，若點C是AB與OP的交點，當S△POB=3S△PCB時，求PB與PC的比值；

（3）若∠MON=60°，OB=2，射線AP交ON于點D，且滿足且∠PBD=∠ABO，請借助圖3補全圖形，并求OP的長。

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