本題已知f(x)的定義域為[1,2],求有關函數的定義域:
(1)f(e^x);(2)f(lnx);(3)f(arctanx);(4)f(x^3-1)。
根據題意,f(x)的定義域為[1,2],則:
1≤e^x≤2,兩邊同時取自然對數有,
ln1≤lne^x≤ln2,即,
0≤x≤ln2,
故此時所求的函數f(e^1x)的定義域為[0,ln2]。
根據題意,有:
1≤lnx≤2,不等式兩邊變形,
1≤lnx≤2,不等式兩邊同時取指數,
e≤x≤e^2,
則此時函數f(1lnx)的定義域為:
[e,e^2]。
根據題意,f(x)的定義域為[1, 2],則:
1≤arctanx≤2,由于反正切函數為增函數,兩邊同時取正切,有:
tan1≤x≤tan2,進一步變形有:
tan1≤x≤tan2,則此時所求函數的定義域為:
[tan1,tan2]。
根據題意,所有函數定義域計算如下:
1≤x^3-1≤2,不等式變形為:
2≤x^3≤3,進一步變形有:
2≤x^3≤3,
由于x^3是增函數,所以有:
3√2≤x≤3√3,
所以函數f(x^3-1)的定義域為:
[3√2,3√3]。
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