正态分布的應用,如随機變量在某一區間取值的概率,一般以解答題的形式出現.解題時注意對相關概念的理解和相關公式的應用.

1.正态曲線及其特點

我們把函數

x∈(-∞, ∞)(其中μ是樣本均值,σ是樣本标準差)的圖象稱為正态分布密度曲線,簡稱正态曲線.

正态曲線的性質:

(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交;

(2)曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱;

(3)曲線在x=μ處達到峰值(最大值);

(4)曲線與x軸之間的面積為1;

(5)當σ一定時,曲線的位置由μ确定,曲線随着μ的變化而沿x軸平移,如圖(1)所示;

(6)當μ一定時,曲線的形狀由σ确定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖(2)所示.

2.正态分布

(1)正态分布的定義及表示

如圖14-4-2,如果對于任何實數a,b(a<b),随機變量X滿足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,則稱随機變量X服從正态分布,常記作N(μ,σ2).如果随機變量X服從正态分布,則記為X~N(μ,σ2).

(2)正态分布的三個常用數據

①P(μ-σ<X≤μ σ)=0.682 6,

②P(μ-2σ<X≤μ 2σ)=0.954 4,

③P(μ-3σ<X≤μ 3σ)=0.997 4.

(3)3σ原則

由P(μ-3σ<X≤μ 3σ)=0.997 4,知正态總體幾乎總取值于區間(μ-3σ,μ 3σ)之内.而在此區間以外取值的概率隻有0.002 6,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生.

在實際應用中,通常認為服從于正态分布N(μ,σ2)的随機變量X隻取(μ-3σ,μ 3σ)之間的值,并簡稱之為3σ原則.

3.正态分布解題方法

服從N(μ,σ2)的随機變量X在某個區間内取值的概率的求法:

(1)利用P(μ-σ<X≤μ σ),P(μ-2σ<X≤μ 2σ),P(μ-3σ<X≤μ 3σ)的值直接求;

(2)充分利用正态曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這些特殊性質求解.

例1：若随機變量ξ服從正态分布N(0,1),已知P(ξ<-1.96)=0.025,則P(|ξ|<1.96)=（ ）

A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975

思路分析：由題意可知μ=0→可知正态曲線關于y軸對稱→可得P(|ξ|<1.96)

解析：由随機變量ξ服從正态分布N(0,1),得P(ξ<1.96)=1-P(ξ≤-1.96),所以P(|ξ|<1.96)=

P(-1.96<ξ<1.96)=P(ξ<1.96)-P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ<-1.96)=1-2×0.025=0.950.

答案：C

歸納：對于正态分布N(μ,σ2),由x=μ是正态曲線的對稱軸知:(1)P(x≥μ)=P(x≤μ)=0.5;(2)對任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ a);(3)P(X<x0)=1-P(X≥x0);(4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).

例2：為了了解某地區高三男生的身體發育狀況,抽查了該地區1 000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況,抽查結果表明他們的體重X(kg)服從正态分布N(μ,22),且正态曲線如圖14-4-6所示.若體重大于58.5 kg小于等于62.5 kg屬于正常情況,則這1 000名男生中體重屬于正常情況的人數是（ ）

A.997 B.954 C.819 D.683

思路分析：解決本題的關鍵是求P(58.5<X≤62.5).

解析：由題意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ σ)=0.682 6,從而體重屬于正常情況的人數是1 000×0.682 6≈683.

答案：D

歸納：(1)在N(μ,σ2)中,第二個數是σ2,而不是σ;(2)若X~N(μ,σ2),則随機變量X在μ的附近取值的概率很大,在離μ很遠處取值的概率很小。

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