詳細介紹通過微分法、泰勒展開法計算sin27°近似值的主要思路和步驟。

∵(sinx)´=cosx

∴dsinx=cosxdx.

則有△y≈cosx△x，此時有：

sinx=sinx0 △y≈sinx0 cosx0△x。

需要注意的是，計算中的△x若是角度要轉化為弧度。

對于本題有：

x=27°=30° △x,△x=-0.052。

則：

sin27°≈sin30° cos30°*(-0.052)，

≈sin30° cos30°*(-0.052)，

≈0.455。

注意：本題中取x0為30°，當27°越接近30°時，

近似值精确度越高。

1.sinx，cosx在x=0處泰勒展開

根據泰勒幂級數展開，有：

sinx=x-x3/3! x5/5!-x7/7! ... (-1)n*x2n 1/(2n 1)!,

cosx=1-x2/2! x4/4! ... (-1)n*x2n/2n!。

其中：n≥0，x為任意實數，即弧度制形式。

2.sinx在x=π/6處泰勒展開

sinx=sin(x-π/6 π/6)

=(√3/2)sin(x-π/6) (1/2)cos(x-π/6)

=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n 1/(2n 1)!

(1/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n/(2n)!

=(1/2)[1 √3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!

(x-π/6)4/4! √3(x-π/6)5/5!-...]

=1/2 1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!

(x-π/6)4/4! √3(x-π/6)5/5!-...]。

3.當n=1時的近似表達式

sinx

≈1/2 (√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)3/3!]-(x-π/6)2/4

≈1/2 (x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)2-(x-π/6)/4]

≈1/2 (1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)2-3(x-π/6)]

≈1/2 (√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)2-√3(x-π/6)]

對于本題：x-π/6=3π/20-π/6≈(-0.052),則：

sin27°

≈1/2 (√3/12)*(-0.052)*(6-(-0.052)2-√3*(-0.052))

≈0.454。

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