二次函數 y = ax2 (a ≠ 0) 與 y = ax2 c (a ≠ 0) 的圖象與性質

【學習目标】

1．理解二次函數的概念，能用待定系數法确定二次函數的解析式；

2．會用描點法畫出二次函數 y= ax2 (a≠0) 與 y = ax2 c (a ≠ 0) 的圖象，

并結合圖象理解抛物線、對稱軸、頂點、開口方向等概念；

3. 掌握二次函數 y=ax2 (a ≠ 0) 與 y = ax2 c (a ≠ 0) 的圖象的性質 .

【知識點梳理】

1、二次函數的概念

一般地，形如 y= ax2 bx c（a ≠ 0，a, b, c 為常數）的函數是二次函數 .

若 b = 0，則 y = ax2 c；

若 c = 0，則 y = ax2 bx；

若 b = c = 0，則 y = ax2 .

以上三種形式都是二次函數的特殊形式，而 y = ax2 bx c（a ≠ 0）是二次函數的一般式 .

二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

注：

如果 y = ax2 bx c ( a , b , c 是常數，a ≠ 0 )，那麼 y 叫做 x 的二次函數．

這裡，當 a = 0 時就不是二次函數了，但 b、c 可分别為零，也可以同時都為零．

a 的絕對值越大，抛物線的開口越小 .

2、二次函數解析式的表示方法

① 一般式：

② 頂點式：

③ 兩根式：

注：

任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，

隻有抛物線與軸有交點，即 b^2 - 4ac ≥ 0 時，抛物線的解析式才可以用交點式表示．

二次函數解析式的這三種形式可以互化 .

3、二次函數 y = ax2（a ≠ 0）的圖象及性質

① 二次函數 y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的圖象

用描點法畫出二次函數 y = ax2（a ≠ 0）的圖象，

如圖，它是一條關于 y 軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做抛物線 .

因為抛物線 y = x2 關于 y 軸對稱，

所以 y 軸是這條抛物線的對稱軸，對稱軸與抛物線的交點是抛物線的頂點，

從圖上看，抛物線 y = x2 的頂點是圖象的最低點 .

因為抛物線 y = x2 有最低點，所以函數 y = x2 有最小值，它的最小值就是最低點的縱坐标 .

② 二次函數 y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的圖象的畫法

用描點法畫二次函數 y = ax2（a≠0）的圖象時，應在頂點的左、右兩側對稱地選取自變量 x 的值，

然後計算出對應的 y 值，這樣的對應值選取越密集，描出的圖象越準确 .

注：

畫草圖時應抓住以下幾點：

開口方向，對稱軸，頂點，與 x 軸的交點，與 y 軸的交點 .

③ 二次函數 y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的圖象的性質

頂點決定抛物線的位置 .

幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那麼抛物線的開口方向、開口大小完全相同，

隻是頂點的位置不同.

│a│相同，抛物線的開口大小、形狀相同.

│a│越大，開口越小，圖象兩邊越靠近 y 軸，│a│越小，開口越大，圖象兩邊越靠近 x 軸 .

4、二次函數 y = ax2 c ( a ≠ 0 ) 的圖象及性質

① 二次函數 y = ax2 c ( a ≠ 0 ) 的圖象

（1） a > 0

（2） a < 0

② 二次函數 y = ax2 c ( a ≠ 0 ) 的圖象的性質

【典型例題】

類型一、二次函數的概念

【例題1】

此題根據二次函數和一次函數的定義，确定 m 的值．

(1) 題關鍵要考慮兩點：一是自變量的最高次數，二是最高次項系數不為零．

(2) 題運用了分類讨論思想，讨論時應防止重複和遺漏．

類型二、二次函數 y = ax2（a ≠ 0）的圖象及性質

【例題2】

分别在 △A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…中，運用勾股定理分别表示出 B1、B2、B3的坐标，

利用抛物線解析式建立等式，分别求出 △A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3 的邊長，

然後探究規律，求出 △A2012A2013B2013 的邊長．

類型三、二次函數 y = ax2 c ( a ≠ 0 ) 的圖象及性質

【例題3】有一個抛物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為 6 m，跨度為 8 m，

把它放在如圖所示的平面直角坐标系中．

（1）求這條抛物線所對應的函數關系式；

（2）若要在隧道壁上點 P（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高 4.5 m．

求燈與點 B 的距離．

本題考查點的坐标的求法及二次函數的實際應用．

此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．

（1）根據抛物線在坐标系的位置可設解析式：y = ax2 6，把點A（-4，0）代入即可；

（2）燈離地面高 4.5 m，即 y=4.5 時，求 x 的值，再根據 P 點坐标，勾股定理求 PB 的值.

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