打開chrome控制台，給一個特别簡單的輸入如下：

0.1 0.2 // 0.30000000000000004 複制代碼

不知道你有沒有吃驚，這麼簡單的一個計算，無論在js中還是在python中，都不是準确的0.3，這是為什麼呢？

緣起

要了解這個問題，首先我們需要知道浮點數在計算機中到底是如何進行存儲的？不知道你是怎麼想的，總之我開始的第一反應就是假設是32位的存儲空間，我可能會按照整數的存儲方式去想象，比如1-24位是整數位，剩餘的8位代表小數，這樣可以嗎？當然是可以的，但是先考慮下下面的這個問題：

想象紅色區域是所能放置的數字的最大空間，現在有個問題，當我們想繼續加0的時候，發現放不下了，因為空間是有限的，這個時候，我們會怎麼辦？

對，沒錯，科學計數法，就是我們在學習過程中，如果位數太多，我們一般都會用科學計數法來表示，這樣的好處是，書寫的位數小，表示的位數多，所以，回到計算機中，32位來表示實數的話，最多能表示多少位？2^32次方個，大約就是40億，40億數字很多嗎？多，但是和無限多的實數集來比，滄海一粟，不夠看的，所以計算機的設計者就要考慮這個問題了，如何讓計算放下更多的數字？

真的有“定點數”

還記得上面說的，1-24表示整數位，剩餘的表示小數位嗎？這種存儲方式就叫定點數，1-24位每4位表示一個0~9的數字的話，可以有6位表示整數部分，剩餘2位表示小數部分，這樣我們可以用32位表示從0到999999.99這樣1億個實數，這種用2進制來表示10進制的方式，叫做BCD編碼（Binary-Coded Decimal），比如說8421碼，從左往右的權依次是8，4，2，1，等等，有興趣的可以去了解一下。

“定點數”存在哪些問題

定點數有幾個明顯的缺點：

• 占了很大的位數，但是能表示的數字範圍卻是有限的；
• 無法同時表示很大的數字和很小的數字

其實究其根本原因，還是這種方式的“有限”限制了它，那麼有沒有一種方式，可以讓32位所能表示的數字，更“無限”一點，更适合我們的訴求？

當然，設計計算機的前輩智慧是無限的~

浮點數是如何表示的

就像使用科學計數法一樣，計算機前輩在浮點數的設計中也用了一樣的思想，IEEE的标準定義了2個基本的浮點數格式，一個是32位的單精度浮點數，一個是64位的雙精度浮點數，也就是float或float32和double或float64這兩個數據格式，雙精度和單精度的表示形式是差不多的，我們以單精度的作為了解和學習。

分為3部分：

1. 第一部分是符号位，用s表示，代表正負，要記住的是在浮點數的範圍内，所有數字都是有符号的；
2. 第二部分是指數位，用e表示，代表指數，用8位bit表示的數字範圍是0~255，為了同時表示大數和小數，我們把0~255去掉頭尾（0，255後面會用到）的1~254去映射到-126~127，這樣同時可以表示最大最小數字；
3. 第三部分是有效數位，用f表示，代表的是有效的數位；

綜合上述表示和科學計數法，我們的浮點數就可以表示為公式

(-1)^s * 1.f * 2^e

看完公式有沒有發現問題？你會發現，我們這個公式無法表示0，的确，這是一個巧妙的設計，我們用0（8個bit都為0）和255（8個bit都為1）來表示一些特殊的數值，可以認為他們2個是特殊的flag位，比如當e和f都為0的時候，我們就認為這個浮點數是0，看下表：

以0.5為例，0.5的符号位s是0，f也是0，e是-1，

這樣(-1)^0 * 1.0 * 2 ^ -1 = 0.5

用32位bit表示就是

s e f 0 0111 1110 0000 ...0 1位 8位 23位 0.5 通過這樣的表示方式，可以明顯的發現32位所能表示的實數範圍是很大的，又因為這種方式創建的實數中小數點的位置是可以”浮動“的，所以也被叫做浮點數，

到這裡我們知道了浮點數是怎麼存儲的了，但是還沒解決我們開始的問題，為何0.1 0.2!=0.3，首先我們要知道0.1是怎麼存儲的：

(-1)^s * 1.f * 2^e = 0.1

求解e

s=0 f=0 e=Math.log2(0.1) // -3.321928094887362

可以看出來這裡0.1是算不出來一個準确數字的，從0.1到0.9隻有0.5是可以求出一個準确的值的，剩下的都算不出來一個準确的值，這也就是為什麼0.1 0.2會導緻的精度問題，也就是說浮點數無論是表示還是計算其實都是近似計算，而近似計算就一定會導緻一些問題，比如，你希望銀行給你存錢以及算利息的時候用浮點數計算嗎？當然不希望，否則你的錢算多了還好，算少了豈不是虧大了~

浮點數&二進制

把一個二進制表示的浮點數（0.1001），轉為10進制表示，因為小數點後的每一位都表示的是2的-N次方，因此轉為10進制就是：

(1 * 2 ^ -1) (0 * 2 ^ -2) (0 * 2 ^ -3) (1 * 2 ^ -4) = 0.5625

可以理解為，對于二進制轉十進制來說，從小數點開始，往左就是把2的指數從0開始過一位 1，包括0，往右就是從-1開始依次-1。

把一個10進制的浮點數，轉為二進制的話，和整數的二進制表示采用“除以 2，然後看餘數”的方式相比，小數部分轉換是用一個相似的反方向操作，就是乘以2，然後看是否大于1，如果大于1就記下1并把結果減去1，一直重複操作。

比如，十進制的9.1，小數部分0.1轉為2進制的過程為：

這是得到一個無限循環的部分”0011“，整數部分9轉為二進制就是1001，因此結果就是1001.000110011...

把小數點做移3位，得到一個浮點數的結果是 1.001000110011... * 2 ^ 3

找到我們上面的公式 (-1)^s * 1.f * 2^e 套公式可得到：

s = 0 f = 00100011001100110011 001(到23位後自動舍棄，因為最長隻能放23位有效數字)

指數位是3，我們e的範圍是1-254 對半分正數和負數，所以127表示0，從127開始加3，得到結果是130，130轉為二進制表示結果就是： 1000 0010， 所以得到e=1000 0010, 結果如下：

所以最終的二進制表示結果是： 0100 0001 0001 0001 1001 1001 1001 1001

如果我們再把這個浮點數表示換算成十進制， 實際得到的準确值是 9.09999942779541015625。相信你現在應該不會感覺奇怪了。

小心你的“存款”

首先，我們了解一下浮點數的加法計算過程是怎麼樣的，拿0.5 0.125來做計算，首先0.5套用公式計算結果是：

s = 0 有效位1.f = 1.0000... e = -1;

0.125 轉換為：

s = 0 有效位1.f = 1.0000... e = -3;

然後，計算口訣是 指數位先對齊(小轉大，這裡要把e統一為-1)， 然後按位相加符号位和有效位，e保持統一後的結果，因此：

符号位s 指數位e 有效位1.f 0.5 0 -1 1.0 0.125 0 -3 1.0 0.125對齊指數位 0 -1 0.01 0.5 0.125 0 -1 1.01 結果就是 (-1)^0 * 1.25 * 2^-1 = 0.625;

ps： 為啥是1.25？雖然我們計算得出的是1.01 但是不要忘記計算是通過2進制算的，計算十進制的時候要轉回來哦，所以0100000.... 後面都是0不用管，小數部分，從頭開始乘以2的-N次别忘了，所以結果就是2^-2 = 0.25 加上整數位的1 就是1.25了~

可以發現，其實浮點數的計算過程，通過一個加法器也是可以實現的，電路成本同樣不會很高，但是需要注意一些别的問題：

計算過程中，需要先對齊，但是有效數位的長度是23位，假如有一個很大的數字和一個很小的數字進行相加，然後對齊的過程中，小數被0部位過程中直接溢出了，23位不夠用了，就會出現問題，補完後一些有效位被丢掉了，從而導緻結果上的誤差，兩個數的指數位差超過23，比如到2^24位(差不多1600萬倍)，這2個數相加後，結果就直接是較大數，較小數完全被抛棄了。。。

有些同學會急急忙忙去chrome的控制輸入下面的代碼：

Math.pow(2, 24) 0.1 // 16777216.1 複制代碼

騙人，結果不是還有0.1嗎，别急，小夥伴，js内置的Number是64位的，你可以試試

Math.pow(2, 50) 0.1 // 1125899906842624 複制代碼

是不是小數沒了？【這種現象也叫大數吃小數】

所以如果銀行采用IEEE-754 32位的浮點數計數方法來保管存款的話，假設你是一個大老闆，你的賬戶中有2000萬rmb，這個時候你的某一個員工給你打了1塊錢，哈哈對不起，銀行給算丢了，你的存款是不變的！所以，一般銀行啊，電商一類的都會在涉及到錢的時候使用定點數或者整數來計算，避免出現精度丢失的問題，如果你去銀行涉及數據庫，一定要小心謹慎~

總結

這篇文章我們從浮點數的表示開始，到存儲，到轉換以及計算過程分析了真實的計算機世界中浮點數到底是怎麼運行的，從中也了解了浮點數究竟為何會丢失精度：

1. 浮點數在存儲的時候可能出現不能準确轉化為對應2進制的情況
2. 在計算過程中，又存在大數吃小數的可能，也會導緻數據不準确

延伸

精度丢失不是沒法解決的，有成熟的方案，不做過多介紹，有興趣大家可以去研究：

Summation Formula 算法

說明：

文章内容大部分參考自 徐文浩 老師的 「深入淺出計算機組成原理」專欄，加了一些自己的理解做了一個簡單的總結，之後還會繼續不定時的分享一些自己的所得，如果覺得還不錯，點個贊吧~

ps： 有同學可能會問，既然隻有0.5可以轉為一個準确的數字，為何0.1 0.1沒有問題，這個我還沒仔細研究，不過我猜想是因為本身計算就是一個計算近似值的過程，因此再得出結果後，如果還在一個近似範圍内，就會認為沒有誤差，超過這個範圍，則會認為出現誤差了，總之我們可以确認的是計算過程中拿到的确實是一個近似數了，這個也确實是導緻一些浮點數計算丢失精度的原因~

有興趣的話可以到這裡查看實際的數字在計算機中存儲的具體内容~

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