假如高等數學是棵樹木得話，那麼極限就是他的根，函數就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，隻能枯萎，可見這一章的重要性。

為什麼第一章如此重要?各個章節本質上都是極限，是以函數的形式表現出來的，所以也具有函數的性質。函數的性質表現在各個方面。

首先對極限的總結如下。極限的保号性很重要就是說在一定區間内函數的正負與極限一緻。

1、極限分為一般極限，還有個數列極限

(區别在于數列極限是發散的，是一般極限的一種)。

2、解決極限的方法如下

1)等價無窮小的轉化，(隻能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分後極限依然存在)e的X次方-1或者(1 x)的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記。(x趨近無窮的時候還原成無窮小)

2)洛必達法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)

首先他的使用有嚴格的使用前提。必須是X趨近而不是N趨近。(所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件。還有一點數列極限的n當然是趨近于正無窮的不可能是負無窮!)必須是函數的導數要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導，直接用無疑是死路一條)必須是0比0，無窮大比無窮大!當然還要注意分母不能為0。

洛必達法則分為三種情況

1)0比0無窮比無窮時候直接用

2)0乘以無窮，無窮減去無窮(應為無窮大于無窮小成倒數的關系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之後這樣就能變成1中的形式了

3)0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方

對于(指數幂數)方程方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把幂上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，(這就是為什麼隻有3種形式的原因，ln(x)兩端都趨近于無窮時候他的幂移下來趨近于0,當他的幂移下來趨近于無窮的時候ln(x)趨近于0)

3、泰勒公式

(含有e^x的時候，尤其是含有正餘旋的加減的時候要特變注意!)e^x展開,sinx展開,cos展開,ln(1 x)展開對題目簡化有很好幫助

4、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法。

取大頭原則最大項除分子分母！看上去複雜處理很簡單。

5、無窮小與有界函數的處理辦法

面對複雜函數時候，尤其是正餘弦的複雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常複雜的函數可能隻需要知道它的範圍結果就出來了!

6、夾逼定理

(主要對付的是數列極限)這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7、等比等差數列公式應用

(對付數列極限)(q絕對值符号要小于1)

8、各項的拆分相加

(來消掉中間的大多數)(對付的還是數列極限)可以使用待定系數法來拆分化簡函數。

9、求左右求極限的方式

(對付數列極限)例如知道Xn與Xn 1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，Xn的極限與Xn 1的極限是一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化。

10、兩個重要極限的應用。

這兩個很重要！對第一個而言是x趨近0時候的sinx與x比值。第2個就如果x趨近無窮大無窮小都有對有對應的形式(第二個實際上是用于函數是1的無窮的形式)(當底數是1的時候要特别注意可能是用第二個重要極限)

11、還有個方法，非常方便的方法。

就是當趨近于無窮大時候，不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的。x的x次方快于x!,快于指數函數,快于幂數函數,快于對數函數(畫圖也能看出速率的快慢)。當x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了

12、換元法

是一種技巧，不會對某一道題目而言就隻需要換元，但是換元會夾雜其中

13、假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的。

14、還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

15、單調有界的性質

對付遞推數列時候使用證明單調性。

16、直接使用求導數的定義來求極限

(一般都是x趨近于0時候，在分子上f(x)加減某個值)加減f(x)的形式，看見了有特别注意)(當題目中告訴你F(0)=0時，f(0)的導數=0的時候就是暗示你一定要用導數定義!)

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