需要的前置數學知識：一元一次，一元二次方程的解法，基本的初中代數。

會用到的記号

讀者對象：初中高年級，高中生，大學低年級學生以及其它數學愛好者。講解了矩陣，增廣矩陣，矩陣乘法，轉置，行列向量，求矩陣的逆等基本矩陣操作。以線性方程導入。力求推理清楚，核心要點明确。後續下一篇會有矩陣與幾何變換。

一元一次方程

解寫成：

二元一次方程組

的解不能寫得像一元方程這麼簡單，我們通過例子看一下。

叫2X2的矩陣

叫列向量，常數項也可以用列向量表示為

有了矩陣與列向量的概念，就可以将二元方程組與一元方程統一寫成一樣的形式。二元方程組寫成

形式上與一元方程一樣。為了讓解的形式上也一樣，就要有

如果要讓AX能與方程組形式對應起來就必須使得A的第一行的每個元素與X的每個元素對位相乘加起來，做為第一個方程的左邊，用A的第二行的每個元素與X的每個元素對位乘再加起來做為第二個方程的左邊，從代數上看會形成一個列向量如下：

這就是矩陣與列向量相乘的基本法則，簡單記憶為行與列對位相乘後再加起來。

例1. 計算

我們發現，

乘以任意的列向量，結果不變，我們就叫這個特殊的主對角線全為1，其它元素為0的矩陣為幺矩陣，類比于數“1”。記為I

模仿

就有

那麼解方程的過程可以形式化寫成

這個A-1叫做矩陣A的逆矩陣。

如果我們把X，C擴展成三元列向量,A擴展成3x3矩陣，上面的過程依然可以用，而且矩陣與列向量的乘法規則不變。為了使得我們介紹的這套方案具有可操作性，需要求矩陣的逆矩陣，需要求矩陣與列向量的乘法，需要矩陣與矩陣的乘法。接下來講這些概念與方法。

是一個列向量，我們也可以定義行向量

WW可以看成w行列對位對調形成的，也叫轉置。對于一個矩陣A我們也可以定義其轉置，也是對位的行與列對調。

我們可以定義行向量與列向量的數積，也叫内積如下

A是個矩陣，A^-1當然也就是個矩陣。一般地兩個2x2的矩陣A,B的乘積可以這樣加以擴充

把B看成一個兩個列向量橫向拼接而成的數陣，把A看成一個兩個行向量縱向拼接而成的數陣。

AB乘積也是個2x2的矩陣，那麼，AB第1行第1列的元素就是A的第一行向量與B的第一列向量的數積，第1行第2列的元素就是A的第一行向量與B的第二列向量的乘積，第二行第一個元素是A的第2行向量與B的第一列向量的數乘，第二行第2個元素的是A第2行向量與B的第2列向量的數積。我們也可以按上述方式定義nxn的兩個矩陣A,B的乘積，乘積的第i行，第j列的元素為

矩陣乘法符合結合律

但

所以

矩陣的乘法已經不符合交換律了。例如

按轉置的定義就有

下面證明

最後我們講矩陣求逆的方法，這是最重要的，也是本文的難點。

矩陣中最核心的思想之一是用矩陣作用矩陣。

會使得x，y發生交換,這就是矩陣的作用。設R是一個nxn的矩陣，如果對角線上的元素除去

其它位置都是0

作用于任意的nxn矩陣，會使得其i行與j行發生交換。而一個主對角線全為1，i行，j列元素為1，其它元素為0的矩陣

作用于nxn的矩陣，會導緻，第i行是第i行與j行的對位和，其它不變.如果

第i行會出現第i行與第j行的對位差。

将幺矩陣I的元素變為

其它主對角線元素還是1，那麼作用于任意nxn矩陣，則矩陣的第i行的每一個元素都變大a倍，其餘不變。這樣我們可以精心設計一組矩陣R1,R2,…，RN将一個nxn的矩陣A變為一個幺矩陣，每一次用矩陣乘無非是在模拟消元法解方程的步驟而已。

于是我們有

也就是說我們可以按下面的程序來求矩陣的逆。

第一步，把nxn的矩陣A擴充為一個新的矩陣，前面n列保持不變，後面添加n列，添加的n列恰形成一個幺矩陣。這個擴充的新矩陣叫原來矩陣的增廣矩陣。

第二步，可以對任意一行的所有元素同乘一個數，同除一個數，

也可以将任意兩行加減替換掉其中的任意一行。

第三步，如果前n列已經是一個幺矩陣，或者主對角線除去1就是0，而其它地方的元素全為0，就終止過程，否則重複第二步。

第四步，如果前面的n列已經變為幺矩陣，則後面的n列形成的矩陣就是A的逆矩陣了。

例題2，求

的逆矩陣

解：

所以

以上手續就可以幫我們解任意一次方程組了，當然具體的程序還有很多技巧，不在我們的講解範圍内。

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