1、數軸

(1)數軸的概念：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。

數軸的三要素：原點，單位長度，正方向。

(2)數軸上的點：所有的有理數都可以用數軸上的點表示，但數軸上的點不都表示有理數。（一般取右方向為正方向，數軸上的點對應任意實數，包括無理數．）

(3)用數軸比較大小：一般來說，當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大。

例題1、畫出數軸，并在數軸上表示下列各數：

2、相反數

(1)相反數的概念：隻有符号不同的兩個數叫做互為相反數。

(2)相反數的意義：掌握相反數是成對出現的，不能單獨存在，從數軸上看，除0外，互為相反數的兩個數，它們分别在原點兩旁且到原點距離相等。

(3)多重符号的化簡：與“ ”個數無關，有奇數個“﹣”号結果為負，有偶數個“﹣”号，結果為正。

(4)規律方法總結：求一個數的相反數的方法就是在這個數的前邊添加“﹣”，如 a 的相反數是﹣a，m n 的相反數是﹣（m n），這時 m n 是一個整體，在整體前面添負号時，要用小括号。

例題2、

注：求具體的一個數的相反數時，我們隻需改變這個數前面的符号，其他部分都不變，即可得到答案；而求一個式子的相反數時，要把這個式子看成一個整體，需先将這個式子用括号括起來，再給括号前面加上“-”即可。

3、絕對值

1.概念：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值。

①互為相反數的兩個數絕對值相等；

②絕對值等于一個正數的數有兩個，絕對值等于0的數有一個，沒有絕對值等于負數的數；

③有理數的絕對值都是非負數。

2.如果用字母a表示有理數，則數a 絕對值要由字母a本身的取值來确定：

①當 a 是正有理數時，a 的絕對值是它本身a；

②當 a 是負有理數時，a 的絕對值是它的相反數﹣a；

③當 a 是零時，a 的絕對值是零。

即 |a|={a（a＞0），0（a=0），﹣a（a＜0）。

例題3、某汽車配件廠生産一批圓形的橡膠墊，從中抽取6件進行檢驗，比标準直徑長的毫米數記作正數，比标準直徑短的毫米數記作負數，檢驗結果記錄如下表：

用學過的絕對值知識來說明這 6 件橡膠墊中哪些質量較好。

解：因為| 0.5|=0.5，|-0.3|=0.3，| 0.1|=0.1，|0|=0，|-0.1|=0.1，|0.2|=0.2，

而絕對值越小，說明越接近标準直徑，即絕對值較小的橡膠墊質量較好，

所以第3件、第4件、第5件橡膠墊的質量較好。

4、有理數大小比較

（1） 有理數的大小比較：

比較有理數的大小可以利用數軸，他們從左到有的順序，即從大到小的順序（在數軸上表示的兩個有理數，右邊的數總比左邊的數大）；也可以利用數的性質比較異号兩數及0的大小，利用絕對值比較兩個負數的大小。

（2）有理數大小比較的法則：

①正數都大于0；

②負數都小于0；

③正數大于一切負數；

④兩個負數，絕對值大的其值反而小。

有理數大小比較的三種方法：

(1)法則比較：

正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數．兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。

(2)數軸比較：

在數軸上右邊的點表示的數大于左邊的點表示的數。

(3)作差比較：

若a﹣b＞0，則a＞b；若a﹣b＜0，則a＜b；若a﹣b=0，則 a=b。

例題4、有兩隻小螞蟻在如下圖的數軸上爬行，螞蟻甲從圖中點 A 的位置沿數軸向右爬了 4 個單位長度到達點 C 處，螞蟻乙從圖中點 B 的位置沿數軸向左爬了 8 個單位長度到達點 D 處。

（1）在圖中分别描出點 C , D 的位置；

（2）點 E 到點 C 與點 D 的距離相等，在數軸上描出點 E 的位置，并用“＜”把點A,B,C,D,E所表示的數連接起來。

5、有理數的減法

有理數減法法則

減去一個數，等于加上這個數的相反數。 即：a﹣b=a （﹣b） 。

方法指引：

①在進行減法運算時，首先弄清減數的符号；

②将有理數轉化為加法時，要同時改變兩個符号：

一是運算符号（減号變加号）； 二是減數的性質符号（減數變相反數）。

注意：在有理數減法運算時，被減數與減數的位置不能随意交換；因為減法沒有交換律。

減法法則不能與加法法則類比，0 加任何數都不變，0 減任何數應依法則進行計算 。

6、有理數的乘法

(1)有理數乘法法則：兩數相乘，同号得正，異号得負，并把絕對值相乘。

(2)任何數同零相乘，都得0。

(3)多個有理數相乘的法則：

①幾個不等于0的數相乘，積的符号由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正。

②幾個數相乘，有一個因數為 0，積就為 0。

(4)方法指引

①運用乘法法則，先确定符号，再把絕對值相乘；

②多個因數相乘，看 0 因數和積的符号當先，這樣做使運算既準确又簡單。

7、有理數的混合運算

1.有理數混合運算順序：

先算乘方，再算乘除，最後算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；

如果有括号，要先做括号内的運算。

2.進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化。

有理數混合運算的四種運算技巧：

(1)轉化法：一是将除法轉化為乘法，二是将乘方轉化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常将小數轉化為分數進行約分計算。

(2)湊整法：在加減混合運算中，通常将和為零的兩個數，分母相同的兩個數，和為整數的兩個數，乘積為整數的兩個數分别結合為一組求解。

(3)分拆法：先将帶分數分拆成一個整數與一個真分數的和的形式，然後進行計算。

(4)巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便。

8、科學記數法—表示較大的數

1.科學記數法：

把一個大于 10 的數記成 a×10^n 的形式，其中 a 是整數數位隻有一位的數，n 是正整數，這種記數法叫做科學記數法。(科學記數法形式：a×10^n，其中1≤a＜10，n 為正整數)

2.規律方法總結

① 科學記數法中a的要求和 10 的指數 n 的表示規律為關鍵，由于 10 的指數比原來的整數位數少 1；按此規律，先數一下原數的整數位數，即可求出 10 的指數 n。

② 記數法要求是大于 10 的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于 10 的負數同樣可用此法表示，隻是前面多一個負号。

例題5、用科學計數法表示數：

例題6、把科學計數法表示的數還原為原數：

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