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矩陣a乘a的逆矩陣

生活 更新时间:2024-09-15 07:35:42

矩陣a乘a的逆矩陣?先說一下逆矩陣的定義:對于n階矩陣A,如果有一個n階矩陣B,使AB=BA=E,則說矩陣A是可逆的,并把矩陣B稱為A的逆矩陣其中E是與矩陣A和矩陣B同階的單位矩陣,接下來我們就來聊聊關于矩陣a乘a的逆矩陣?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

矩陣a乘a的逆矩陣(如果一個矩陣A是可逆的)1

矩陣a乘a的逆矩陣

先說一下逆矩陣的定義:

對于n階矩陣A,如果有一個n階矩陣B,使AB=BA=E,則說矩陣A是可逆的,并把矩陣B稱為A的逆矩陣。其中E是與矩陣A和矩陣B同階的單位矩陣。

我們知道A是可逆矩陣的充分必要條件是|A|≠0(行列式不等于0)。如果矩陣A滿足|A|≠0這個條件,矩陣A一定是可逆的,并且它的可逆矩陣是唯一的,為什麼是唯一的呢?

這個問題用反證法的思想證明是相對容易一些的。假設可逆矩陣A的逆矩陣不唯一,不妨設矩陣B和矩陣C都是A的逆矩陣,則有AB=BA=EAC=CA=E。于是有

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,(式1)

其中B(AC)=(BA)C是利用的矩陣乘法的結合律。

由式1可以看出B=C,即BC是同一個矩陣,可見我們的假設是不成立的,所以可逆矩陣A的逆矩陣是唯一的。

以上内容均為個人理解,如有錯誤,歡迎指正。

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