本專題我們精選了初中數學聯賽幾何類題目一共100題，非常适合日常的練習，拓展思維。如果你成功完成了這套題，那想必你的幾何功力會極大提升，也非常歡迎各位題友參與讨論，分享你的精彩解法。
題目：如圖已知，在ABC 三邊上，向外做三角形 ABR 、BCP 、CAQ ，使∠CBP ＝∠CAQ ＝ 45， ∠BCP ＝∠ACQ ＝30，∠ABR ＝∠BAR ＝15.
求證： RQ與 RP 垂直且相等.
如果你想思考一下，可以暫停滾屏，思考1分鐘後，再繼續。
題目分析：
觀察已知條件，可以直接得到的推論是 ,
解法一：觀察結論，一個思路是，将PR看作是QR順時針旋轉90度，那麼可以嘗試構造一個 AQR順時針旋轉90度的三角形，結論轉化為求證三角形全等。
嘗試做HRAR，且HR=AR，連接AH,BH,PH,得到等腰直角三角形AHR和等邊三角形BHR
由30度，45度角可以得到三角形ABH和三角形CAQ、CBP都相似
接着嘗試從結論倒推，要證明
現在隻有一條邊相等，QR邊相等和相等是要證的結論，所以隻能從另外一條邊和兩個角去尋找。
對于角PHR和角QAR來說，一個等于，另一個等于
所以
同時我們還看到
這就挖掘出另一對相似三角形PBH和CBA
而要證明相似，我們還需要另一個邊的條件：
這個比例在三角形ABH和三角形CBP相似的推論中已經得到了。
到此，我們隻差一個三角形全等的邊或者角的條件了。
從的條件，得到AC/BC=PH/PB
對比最初的條件：AQ/PB=AC/BC
順利得到三角形全等所需的最後一個條件：AQ=PH
已知條件和結論會師。
解法二：為了證明垂直，從360度的圓周角減去所有相鄰角的思路去嘗試；
為了證明線段等長，從相似三角形的等比代換的思路去嘗試。
以AB為邊向下作等邊三角形，連接DR和CD
得到一連串的相似三角形：
而,
加上對應邊成比例，得到,
所以 , ,
因此：QR/CD=AR/AD=BR/BD=PR/CD
得到QR=PR
得證
總結：圖形旋轉，是證明線段等長和構成某個角度的“高級”證法。解法二的劍走偏鋒，更多隻能依賴于構造正三角形的特殊作用和對相似三角形邊長等比的熟練手感了。
你做對了嗎？如果你有更好的方法，歡迎分享。
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