函數概念最早出現在17世紀英國數學家格雷戈裡的文章《論圓和雙曲線的求積》（1667年）中．他定義函數是這樣一個量：它是從一些其他盆經過一系列代數運算或者任何其他可以想象到的運算而得到的．自從牛頓于1665年開始微積分（研究曲線的弧長、不規則圖形的面積等的一個數學分支）的研究工作後，他一直使用“流量”一詞來表示變t間的關系．17世紀德國著名數學家萊布尼茨1673年在一篇手稿裡使用了，函數”這一概念．後來，萊布尼茨又引進“常盆”’、“變量”和’‘參變t”的概念．

在數學史上，這是一大進步，它使得人們可以從數量上描述運動了．當時的函數指的是可以用解析式表示的函數．但這種概念對數學和科學的進一步發展來說實在是太狹隘了．

就說這個表達式吧，是不是符合函數的定義？但你能畫出它的圖象嗎？

從直觀上講,狄利克雷函數可以看做兩條極不光滑的直線。

狄利克雷函數具有以下幾個性質:

(1)解析式不可寫。

(2)圖像不可畫，無法畫出圖像，但是圖像客觀存在。

(3)沒有有關的實際背景作為參考，即生活中很難找到以這個函數為模型的例子。

從以上特點看出,狄利克雷函數完全是“人工”的函數,對整個數學的邏輯嚴密性,起到至關重要的作

用。

狄利克雷函數的出現，表示數學家們對數學的理解發生了深刻的變化，數學的一些“人造”特征開始展現出來．這種思想也标志着數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”.

狄利克雷是數學史上第一位重視概念的人，并且是有愈識地“以概念代替直覺”的人．在狄利克雷之前，數學家們主要研究具體函數，進行具體計算，他們不大考慮抽象問題．但狄利克雷之後，事情逐漸變化了，人們開始考慮函數的各種性質，例如（圖象的）對稱性、增減性、連續性等．具體函數、具體函數的計算逐漸淡化了．

1837年，狄利克雷給出了與我們現在所熟知的函數定義非常相近的函數的如下定義（區間一般是指兩個實數之間的所有實數）:如果對于給定區間上的每一個x值，都有唯一的y值與它對應，那麼y是x的函數．

這個說法逐步演變為現在高中課本上用的函數的定義：

設A，B是非空的數集，如果按照某種确定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一确定的數y和它對應，那麼就稱

為從集合A到集合B的一個函數，記作

或

。

其中x叫作自變量，y叫做x的函數，集合A叫做函數的定義域，與x對應的y叫做函數值，函數值的集合

叫做函數的值域，f叫做對應法則。其中，定義域、值域和對應法則被稱為函數三要素.

關于荻利克雷函數也可以用一個統一的式子進行表達：

這個函數有如下基本性質:

(1)周期性：任何的非零有理數都是這個函數的周期。也就是說,此函數沒有最小正周期。

(2)奇偶性：D(x)是偶函數。

(3)單調性：D(x)在任意區間都不具有單調性。

(4)處處不可導，處處不連續，處處不可積。

這個函數一般用分段表達：

有時高考相關的試題中也有它的影子：

對于一個人來說，如果你愛她，就讓她學習函數吧，同樣地，如果你恨她，也讓她學習函數吧！這不應了那句話了嗎？“恨之越切，愛之越深！”

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