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一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，隻有一項符合題目要求．每小題選出答案後，請用2B鉛筆将答題卡上對應題目的答案标号塗黑．）

1．（3分）（2018•河池）在﹣2，0，1，2這四個數中，為負數的是（ ）

A．﹣2B．0C．1D．2

2．（3分）（2018•河池）如圖，a∥b，∠1＝80°，則∠2的大小是（ ）

A．80°B．90°C．100°D．110°

3．（3分）（2018•河池）下列單項式中，與3a2b為同類項的是（ ）

A．﹣a2bB．ab2C．3abD．3

4．（3分）（2018•河池）如圖，該幾何體的主視圖是（ ）

A．B．C．D．

5．（3分）（2018•河池）下列運算正确的是（ ）

A．2a 3b＝5abB．a6÷a2＝a3

C．a3•a2＝a5D．（a﹣b）2＝a2﹣b2

6．（3分）（2018•河池）下列調查中，最适合采用全面調查的是（ ）

A．端午節期間市場上粽子質量

B．某校九年級三班學生的視力

C．央視春節聯歡晚會的收視率

D．某品牌手機的防水性能

7．（3分）（2018•河池）如圖，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的條件是（ ）

A．AB＝ACB．BC＝BDC．AC＝BDD．AB＝BC

8．（3分）（2018•河池）關于x的一元一次不等式組的解集在數軸上的表示如圖所示，則此不等式組的解集是（ ）

A．x＞﹣1B．x≤3C．﹣1≤x＜3D．﹣1＜x≤3

9．（3分）（2018•河池）分式方程＝1﹣的解為（ ）

A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝5D．無解

10．（3分）（2018•河池）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，則∠ADC的大小為（ ）

A．20°B．25°C．50°D．100°

11．（3分）（2018•河池）關于反比例函數y＝的圖象，下列說法正确的（ ）

A．經過點（2，3）B．分布在第二、第四象限

C．關于直線y＝x對稱D．x越大，越接近x軸

12．（3分）（2018•河池）如圖，等邊△ABC的邊長為2，⊙A的半徑為1，D是BC上的動點，DE與⊙A相切于E，DE的最小值是（ ）

A．1B．C．D．2

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．請将答案填在答題卡上對應的答題區域内．）

13．（3分）（2018•河池）計算：×＝ ．

14．（3分）（2018•河池）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝2，則BC的長為 ．

15．（3分）（2018•河池）同時抛擲兩枚質地均勻的硬币，則兩枚硬币全部正面向上的概率是 ．

16．（3分）（2018•河池）直線y＝x 2經過M（1，y1），N（3，y2）兩點，則y1 y2（填"＞""＜"或"＝"）

17．（3分）（2018•河池）如圖，四邊形OABC為正方形，點D（3，1）在AB上，把△CBD繞點C順時針旋轉90°，則點D旋轉後的對應點D′的坐标是 ．

18．（3分）（2018•河池）如圖，抛物線y＝x2 bx c與x軸隻有一個交點，與x軸平行的直線l交抛物線于A、B，交y軸于M，若AB＝6，則OM的長為 ．

三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請将解答寫在答題卡上對應的答題區域内．）

19．（6分）（2018•河池）計算：（﹣2）2 |﹣2|﹣﹣2tan45°

20．（6分）（2018•河池）先化簡，再求值：x（x 2）﹣2（x 2），其中x＝3．

21．（8分）（2018•河池）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，

（1）尺規作圖（保留作圖痕迹，不寫作法）

①作AC的垂直平分線，垂足為D；

②以D為圓心，DA長為半徑作圓，交AB于E（E異于A），連接CE；

（2）探究CE與AB的位置關系，并證明你的結論．

22．（8分）（2018•河池）如圖，我軍的一艘軍艦在南海海域巡航，在A處時，某島上的燈塔P位于A的南偏西30°方向，距離為20nmile，軍艦沿南偏東15°方向航行一段時間後到達B處，此時，燈塔P位于B的西北方向上．

（1）分别求出∠PAB和∠PBA的大小；

（2）求B到燈塔P的距離．（結果保留1位小數，參考數據：≈1.414，≈1.732）

23．（8分）（2018•河池）甲、乙兩城市某月1日～10日中午12時的氣溫（單位：℃）如下：

甲 22 20 25 22 18 23 13 27 27 22

乙 21 22 24 18 28 21 18 19 26 18

整理數據：這兩組數據的頻數分布表如表一．

分析數據：這兩組數據的平均數、中位數、衆數和方差如表二所示．

表一

表二

請填空：

（1）在上表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ，e＝ ；

（2） 城的氣溫變化較小；

（3） 城的氣溫較高，理由是 ．

24．（8分）（2018•河池）某冷飲店用200元購進A，B兩種水果共20kg，進價分别為7元/kg和12元/kg．

（1）這兩種水果各購進多少千克？

（2）該冷飲店将所購進的水果全部混合制成50杯果汁，要使售完後所獲利潤不低于進貨款的50%，則每杯果汁的售價至少為多少元？

25．（10分）（2018•河池）如圖，⊙O的直徑為AB，點C在⊙O上，點D，E分别在AB，AC的延長線上，DE⊥AE，垂足為E，∠A＝∠CDE．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的長．

26．（12分）（2018•河池）如圖1，抛物線y＝﹣x2 2x﹣1的頂點A在x軸上，交y軸于B，将該抛物線向上平移，平移後的抛物線與x軸交于C，D，頂點為E（1，4）．

（1）求點B的坐标和平移後抛物線的解析式；

（2）點M在原抛物線上，平移後的對應點為N，若OM＝ON，求點M的坐标；

（3）如圖2，直線CB與平移後的抛物線交于F．在抛物線的對稱軸上是否存在點P，使得以C，F，P為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點P的坐标；若不存在，請說明理由．

2018年廣西河池市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，隻有一項符合題目要求．每小題選出答案後，請用2B鉛筆将答題卡上對應題目的答案标号塗黑．）

1．（3分）（2018•河池）在﹣2，0，1，2這四個數中，為負數的是（ ）

A．﹣2B．0C．1D．2

【考點】11：正數和負數．菁優網版權所有

【專題】511：實數．

【分析】根據負數的定義可以從題目中的四個數據中，得到哪些數是負數，從而可以解答本題．

【解答】解：在﹣2，0，1，2這四個數中，負數是：﹣2，

故選：A．

【點評】本題考查正數和負數，解題的關鍵是明确負數的定義．

2．（3分）（2018•河池）如圖，a∥b，∠1＝80°，則∠2的大小是（ ）

A．80°B．90°C．100°D．110°

【考點】JA：平行線的性質．菁優網版權所有

【專題】551：線段、角、相交線與平行線．

【分析】依據兩直線平行，同旁内角互補，即可得到∠2的度數．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠1 ∠2＝180°，

又∵∠1＝80°，

∴∠2＝100°，

故選：C．

【點評】本題主要考查了平行線的性質，兩條平行線被第三條直線所截，同旁内角互補．

3．（3分）（2018•河池）下列單項式中，與3a2b為同類項的是（ ）

A．﹣a2bB．ab2C．3abD．3

【考點】34：同類項；42：單項式．菁優網版權所有

【專題】512：整式．

【分析】單項式3a2b含有字母a、b，且次數分别為2、1，根據同類項的定義進行判斷．

【解答】解：∵3a2b含有字母a、b，且次數分别為2、1，

∴與3a2b是同類項的是﹣a2b．

故選：A．

【點評】本題考查了同類項的定義，同類項定義中的兩個"相同"：相同字母的指數相同，是易混點，因此成了中考的常考點．

4．（3分）（2018•河池）如圖，該幾何體的主視圖是（ ）

A．B．C．D．

【考點】U2：簡單組合體的三視圖．菁優網版權所有

【專題】55F：投影與視圖．

【分析】依據從該幾何體的正面看到的圖形，即可得到主視圖．

【解答】解：由圖可得，幾何體的主視圖是：

故選：D．

【點評】本題主要考查了三視圖，解題時注意：視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上．

5．（3分）（2018•河池）下列運算正确的是（ ）

A．2a 3b＝5abB．a6÷a2＝a3

C．a3•a2＝a5D．（a﹣b）2＝a2﹣b2

【考點】35：合并同類項；46：同底數幂的乘法；48：同底數幂的除法；4C：完全平方公式．菁優網版權所有

【專題】512：整式．

【分析】根據合并同類項、同底數幂的除法和乘法以及完全平方公式解答即可．

【解答】解：A、2a與3b不是同類項，不能合并，錯誤；

B、a6÷a2＝a4，錯誤；

C、a3•a2＝a5，正确；

D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab b2，錯誤；

故選：C．

【點評】此題考查同底數幂的除法，關鍵是根據合并同類項、同底數幂的除法和乘法以及完全平方公式的法則解答．

6．（3分）（2018•河池）下列調查中，最适合采用全面調查的是（ ）

A．端午節期間市場上粽子質量

B．某校九年級三班學生的視力

C．央視春節聯歡晚會的收視率

D．某品牌手機的防水性能

【考點】V2：全面調查與抽樣調查．菁優網版權所有

【專題】541：數據的收集與整理．

【分析】根據普查得到的調查結果比較準确，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似解答．

【解答】解：A．調查端午節期間市場上粽子質量适合抽樣調查；

B．某校九年級三班學生的視力适合全面調查；

C．央視春節聯歡晚會的收視率适合抽樣調查；

D．某品牌手機的防水性能适合抽樣調查；

故選：B．

【點評】本題考查的是抽樣調查和全面調查的區别，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調查，對于精确度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查．

7．（3分）（2018•河池）如圖，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的條件是（ ）

A．AB＝ACB．BC＝BDC．AC＝BDD．AB＝BC

【考點】L5：平行四邊形的性質；L9：菱形的判定．菁優網版權所有

【專題】556：矩形 菱形 正方形．

【分析】根據菱形的判定方法即可解決問題．

【解答】解：根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可知選項D正确，

故選：D．

【點評】本題考查菱形的判定，平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．

8．（3分）（2018•河池）關于x的一元一次不等式組的解集在數軸上的表示如圖所示，則此不等式組的解集是（ ）

A．x＞﹣1B．x≤3C．﹣1≤x＜3D．﹣1＜x≤3

【考點】C4：在數軸上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式組．菁優網版權所有

【專題】11：計算題．

【分析】數軸的某一段上面，表示解集的線的條數，與不等式的個數一樣，那麼這段就是不等式組的解集．實心圓點包括該點，空心圓圈不包括該點，大于向右小于向左．兩個不等式的公共部分就是不等式組的解集．

【解答】解：由數軸知，此不等式組的解集為﹣1＜x≤3，

故選：D．

【點評】本題主要考查解一元一次不等式組，不等式的解集在數軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若幹段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那麼這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時"≥"，"≤"要用實心圓點表示；"＜"，"＞"要用空心圓點表示．

9．（3分）（2018•河池）分式方程＝1﹣的解為（ ）

A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝5D．無解

【考點】B2：分式方程的解；B3：解分式方程．菁優網版權所有

【專題】522：分式方程及應用．

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．

【解答】解：化為整式方程為：1＝x﹣2﹣2

解得：x＝5，

經檢驗x＝5是原方程的解，

故選：C．

【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"轉化思想"，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．

10．（3分）（2018•河池）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，則∠ADC的大小為（ ）

A．20°B．25°C．50°D．100°

【考點】M2：垂徑定理；M4：圓心角、弧、弦的關系；M5：圓周角定理．菁優網版權所有

【專題】559：圓的有關概念及性質．

【分析】由⊙O中，OA⊥BC，利用垂徑定理，即可證得＝，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得圓周角∠ADC的度數．

【解答】解：如圖，連接OC，

∵OA⊥BC，

∴＝，

∴∠AOC＝∠AOB＝50°，

∴∠ADC＝∠AOC＝25°，

故選：B．

【點評】此題考查了垂徑定理與圓周角定理．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．

11．（3分）（2018•河池）關于反比例函數y＝的圖象，下列說法正确的（ ）

A．經過點（2，3）B．分布在第二、第四象限

C．關于直線y＝x對稱D．x越大，越接近x軸

【考點】G2：反比例函數的圖象；G4：反比例函數的性質．菁優網版權所有

【專題】534：反比例函數及其應用．

【分析】根據反比例函數的性質，k＝5＞0，函數位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而減小．

【解答】解：A、把點（2，3）代入反比例函數y＝得2.5≠3不成立，故A選項錯誤；

B、∵k＝5＞0，∴它的圖象在第一、三象限，故B選項錯誤；

C、反比例函數有兩條對稱軸，y＝x和y＝﹣x；當x＜0時，x越小，越接近x軸，故C選項正确；

D、反比例函數有兩條對稱軸，y＝x和y＝﹣x；當x＜0時，x越小，越接近x軸，故D選項錯誤．

故選：C．

【點評】本題考查了反比例函數y＝（k≠0）的性質：

①當k＞0時，圖象分别位于第一、三象限；當k＜0時，圖象分别位于第二、四象限．

②當k＞0時，在同一個象限内，y随x的增大而減小；當k＜0時，在同一個象限，y随x的增大而增大．

12．（3分）（2018•河池）如圖，等邊△ABC的邊長為2，⊙A的半徑為1，D是BC上的動點，DE與⊙A相切于E，DE的最小值是（ ）

A．1B．C．D．2

【考點】KK：等邊三角形的性質；MC：切線的性質．菁優網版權所有

【專題】55A：與圓有關的位置關系．

【分析】連接AE，AD，作AH⊥BC于H，因為DE與⊙A相切于E，所以AE⊥DE，可得DE＝，當D與H重合時，AD最小，此時DE最小，求出AH的長，即可得出DE的最小值．

【解答】解：如圖，連接AE，AD，作AH⊥BC于H，

∵DE與⊙A相切于E，

∴AE⊥DE，

∵⊙A的半徑為1，

∴DE＝，

當D與H重合時，AD最小，

∵等邊△ABC的邊長為2，

∴BH＝CH＝1，

∴AH＝，

∴DE的最小值為：．

故選：B．

【點評】本題考查圓的切線的性質，勾股定理，等邊三角形的性質，解題的關鍵是掌握圓的切線的性質．

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．請将答案填在答題卡上對應的答題區域内．）

13．（3分）（2018•河池）計算：×＝　3　．

【考點】75：二次根式的乘除法．菁優網版權所有

【專題】514：二次根式．

【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．

【解答】解：原式＝＝＝3．

故答案為：3．

【點評】此題主要考查了二次根式的乘法運算，正确化簡二次根式是解題關鍵．

14．（3分）（2018•河池）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝2，則BC的長為　6　．

【考點】S9：相似三角形的判定與性質．菁優網版權所有

【專題】55D：圖形的相似．

【分析】由題可知△ADE∽△ABC，可根據相似比求解．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得：BC＝6，

故答案為：6．

【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．

15．（3分）（2018•河池）同時抛擲兩枚質地均勻的硬币，則兩枚硬币全部正面向上的概率是 ．

【考點】X6：列表法與樹狀圖法．菁優網版權所有

【專題】11：計算題．

【分析】畫樹狀圖展示所有4種等可能的結果數，再找出兩枚硬币全部正面向上的結果數，然後根據概率公式求解．

【解答】解：畫樹狀圖為：

共有4種等可能的結果數，其中兩枚硬币全部正面向上的結果數為1，

所以兩枚硬币全部正面向上的概率＝．

故答案為．

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然後根據概率公式求出事件A或B的概率．

16．（3分）（2018•河池）直線y＝x 2經過M（1，y1），N（3，y2）兩點，則y1　＜　y2（填"＞""＜"或"＝"）

【考點】F8：一次函數圖象上點的坐标特征．菁優網版權所有

【專題】533：一次函數及其應用．

【分析】分别把M和N兩點的橫坐标代入直線解析式，即可求出y1和y2的值，最後進行比較即可．

【解答】解：∵直線y＝x 2經過M（1，y1），N（3，y2）兩點，

∴y1＝1 2＝3，y2＝3 2＝5，

∴y1＜y2，

故答案為＜．

【點評】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐标特征的知識，解題要掌握直線上任意一點的坐标都滿足函數關系式y＝kx b，此題難度不大．

17．（3分）（2018•河池）如圖，四邊形OABC為正方形，點D（3，1）在AB上，把△CBD繞點C順時針旋轉90°，則點D旋轉後的對應點D′的坐标是　（﹣2，0）　．

【考點】LE：正方形的性質；R7：坐标與圖形變化﹣旋轉．菁優網版權所有

【專題】11：計算題；13：作圖題．

【分析】本題利用正方形的性質，确定旋轉後D'的位置，再求出它到坐标軸的距離，就可以判斷D'坐标．

【解答】解：

△CBD繞點C順時針旋轉90°得到的圖形如上圖所示．

∵D的坐标為（3，1），

∴OA＝3，AD＝1

∵在正方形OABC中，

OA＝AB，

∴AB＝3，

∴BD＝AB﹣AD＝2，

∴OD'＝BD＝2，

∴D'的坐标為（﹣2，0），

故答案為（﹣2，0）．

【點評】本題考查正方形的性質和旋轉變換的性質，求出OD'的長度後要注意D'的位置，正确判斷出D'坐标的符号．

18．（3分）（2018•河池）如圖，抛物線y＝x2 bx c與x軸隻有一個交點，與x軸平行的直線l交抛物線于A、B，交y軸于M，若AB＝6，則OM的長為　9　．

【考點】HA：抛物線與x軸的交點．菁優網版權所有

【專題】26：開放型；45：判别式法．

【分析】設：A（m，h）、B（n，h），則AB＝6＝n﹣m＝，且△＝0，即可求解．

【解答】解：抛物線y＝x2 bx c與x軸隻有一個交點，則b2﹣4c＝0，

設OM＝h，A、B點的橫坐标分别為m、n，

則：A（m，h）、B（n，h），

由題意得：x2 bx （c﹣h）＝0，

則：m n＝﹣b，mn＝c﹣h…①，

AB＝6＝n﹣m＝＝＝，

解得：h＝9，

故答案為9．

【點評】本題考查的是函數與x軸的交點，主要涉及到韋達定理的應用，其中n﹣m＝是處理複雜數據常用的方法．

三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請将解答寫在答題卡上對應的答題區域内．）

19．（6分）（2018•河池）計算：（﹣2）2 |﹣2|﹣﹣2tan45°

【考點】2C：實數的運算；T5：特殊角的三角函數值．菁優網版權所有

【專題】511：實數．

【分析】直接利用絕對值的性質以及二次根式的性質、特殊角的三角函數值分别化簡得出答案．

【解答】解：原式＝4 2﹣2﹣2×1

＝2．

【點評】此題主要考查了實數運算，正确化簡各數是解題關鍵．

20．（6分）（2018•河池）先化簡，再求值：x（x 2）﹣2（x 2），其中x＝3．

【考點】4J：整式的混合運算—化簡求值．菁優網版權所有

【專題】11：計算題；512：整式．

【分析】先根據單項式乘多項式法則展開，再合并同類項即可化簡原式，繼而将x的值代入計算可得．

【解答】解：原式＝x2 2x﹣2x﹣4

＝x2﹣4，

當x＝3時，原式＝32﹣4＝5．

【點評】本題主要考查整式的化簡求值，解題的關鍵是掌握單項式乘多項式法則和合并同類項法則．

21．（8分）（2018•河池）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，

（1）尺規作圖（保留作圖痕迹，不寫作法）

①作AC的垂直平分線，垂足為D；

②以D為圓心，DA長為半徑作圓，交AB于E（E異于A），連接CE；

（2）探究CE與AB的位置關系，并證明你的結論．

【考點】J9：平行線的判定；KG：線段垂直平分線的性質；N3：作圖—複雜作圖．菁優網版權所有

【專題】13：作圖題；55G：尺規作圖．

【分析】（1）根據線段中垂線的尺規作圖及圓的概念作圖可得；

（2）連接DE，由（1）知DA＝DE＝DC，據此得∠DAE＝∠DEA＝x°，∠CDE＝2x°，結合DC＝DE知∠DCE＝∠DEC＝＝90﹣x，相加即可得出答案．

【解答】解：（1）如圖所示，直線DF和⊙D即為所求．

（2）CE⊥AB，

連接DE，

由（1）知DA＝DE＝DC，

則∠DAE＝∠DEA，

設∠DAE＝∠DEA＝x，

則∠CDE＝2x，

∵DC＝DE，

∴∠DCE＝∠DEC＝＝90﹣x，

∴∠DEA ∠DEC＝90﹣x x＝90，

∴CE⊥AB．

【點評】本題主要考查作圖﹣複雜作圖，解題的關鍵是掌握線段中垂線的尺規作圖和圓的概念、性質及等腰三角形的性質．

22．（8分）（2018•河池）如圖，我軍的一艘軍艦在南海海域巡航，在A處時，某島上的燈塔P位于A的南偏西30°方向，距離為20nmile，軍艦沿南偏東15°方向航行一段時間後到達B處，此時，燈塔P位于B的西北方向上．

（1）分别求出∠PAB和∠PBA的大小；

（2）求B到燈塔P的距離．（結果保留1位小數，參考數據：≈1.414，≈1.732）

【考點】TB：解直角三角形的應用﹣方向角問題．菁優網版權所有

【專題】55E：解直角三角形及其應用．

【分析】（1）根據角的和差即可得到結論；

（2）過P作PC⊥AB于C，解直角三角形即可得到結論．

【解答】解：（1）∠PAB＝30° 15°＝45°，

∠PBA＝45°﹣15°＝30°；

（2）過P作PC⊥AB于C，

在Rt△APC中，∵∠PAC＝45°，AP＝20，

∴PC＝PA＝10，

在Rt△PCB中，∵∠PBC＝30°，

∴PB＝2PC＝20≈28.3海裡，

答：B到燈塔P的距離是28.3海裡．

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．

23．（8分）（2018•河池）甲、乙兩城市某月1日～10日中午12時的氣溫（單位：℃）如下：

甲 22 20 25 22 18 23 13 27 27 22

乙 21 22 24 18 28 21 18 19 26 18

整理數據：這兩組數據的頻數分布表如表一．

分析數據：這兩組數據的平均數、中位數、衆數和方差如表二所示．

表一

表二

請填空：

（1）在上表中，a＝　4　，b＝　4　，c＝　21.9　，d＝　21　，e＝　18　；

（2）　乙　城的氣溫變化較小；

（3）　甲　城的氣溫較高，理由是　理由是甲城的平均數和中位數都高于乙城　．

【考點】V7：頻數（率）分布表；W1：算術平均數；W4：中位數；W5：衆數；W7：方差．菁優網版權所有

【專題】542：統計的應用．

【分析】（1）根據給出的數據可直接得出a、b，根據平均數公式列出算式求出c，把這些數從小到大排列，求出最中間兩個數的平均數求出d，根據衆數的定義求出出現的次數最多的數求出e，

（2）根據甲乙兩城的方差即可求出氣溫變化較小的城，

（3）根據甲城的平均數和中位數都高于乙城，即可得出答案．

【解答】解：（1）根據給出的數據可得：a＝4，b＝4，

c＝（22 20 25 22 18 23 13 27 27 22）÷10＝21.9，

把這些數從小到大排列為：18，18，18，19，21，21，22，24，26，28，

最中間兩個數的平均數是（21 21）÷2＝21，

則中位數d＝21，

18出現的次數最多，則衆數e＝18，

故答案為：4，4，21.9，21，18

（2）乙城的氣溫變化較小，

故答案為：乙；

（3）甲城的氣溫較高，理由是甲城的平均數和中位數都高于乙城，

故答案為：甲，理由是甲城的平均數和中位數都高于乙城．

【點評】本題考查了平均數，中位數，方差的意義．平均數平均數表示一組數據的平均程度．中位數是将一組數據從小到大（或從大到小）重新排列後，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數）；方差是用來衡量一組數據波動大小的量．

24．（8分）（2018•河池）某冷飲店用200元購進A，B兩種水果共20kg，進價分别為7元/kg和12元/kg．

（1）這兩種水果各購進多少千克？

（2）該冷飲店将所購進的水果全部混合制成50杯果汁，要使售完後所獲利潤不低于進貨款的50%，則每杯果汁的售價至少為多少元？

【考點】9A：二元一次方程組的應用；C9：一元一次不等式的應用．菁優網版權所有

【專題】521：一次方程（組）及應用；524：一元一次不等式(組)及應用．

【分析】（1）設A種水果購進了x千克，則B種水果購進了（20﹣x）千克，根據總價格＝甲種水果單價×購進甲種水果質量 乙種水果單價×購進乙種水果質量即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；

（2）設每杯果汁的售價至少為y元，根據題意列不等式即可得到結論．

【解答】解：（1）設A種水果購進了x千克，則B種水果購進了（20﹣x）千克，

根據題意得：7x 12（20﹣x）＝200，

解得：x＝8，

則20﹣x＝12．

答：購進A種水果8千克，B種水果12千克；

（2）設每杯果汁的售價至少為y元，

根據題意得，50y﹣200≥200×50%，

解得：y≥6，

答：每杯果汁的售價至少為6元．

【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，一元一次方程的應用，根據數量關系總價＝單價×數量列出一元一次方程是解題的關鍵．

25．（10分）（2018•河池）如圖，⊙O的直徑為AB，點C在⊙O上，點D，E分别在AB，AC的延長線上，DE⊥AE，垂足為E，∠A＝∠CDE．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的長．

【考點】ME：切線的判定與性質．菁優網版權所有

【專題】55A：與圓有關的位置關系．

【分析】（1）連接OC，根據三角形的内角和得到∠EDC ∠ECD＝90°，根據等腰三角形的性質得到∠A＝∠ACO，得到∠OCD＝90°，于是得到結論；

（2）根據已知條件得到OC＝OB＝AB＝2，根據勾股定理即可得到結論．

【解答】（1）證明：連接OC，

∵DE⊥AE，

∴∠E＝90°，

∴∠EDC ∠ECD＝90°，

∵∠A＝∠CDE，

∴∠A ∠DCE＝90°，

∵OC＝OA，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACO ∠DCE＝90°，

∴∠OCD＝90°，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵AB＝4，BD＝3，

∴OC＝OB＝AB＝2，

∴OD＝2 3＝5，

∴CD＝＝＝．

【點評】本題考查了切線的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質，平角的定義，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵．

26．（12分）（2018•河池）如圖1，抛物線y＝﹣x2 2x﹣1的頂點A在x軸上，交y軸于B，将該抛物線向上平移，平移後的抛物線與x軸交于C，D，頂點為E（1，4）．

（1）求點B的坐标和平移後抛物線的解析式；

（2）點M在原抛物線上，平移後的對應點為N，若OM＝ON，求點M的坐标；

（3）如圖2，直線CB與平移後的抛物線交于F．在抛物線的對稱軸上是否存在點P，使得以C，F，P為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點P的坐标；若不存在，請說明理由．

【考點】HF：二次函數綜合題．菁優網版權所有

【專題】537：函數的綜合應用．

【分析】（1）利用二次函數圖象上點的坐标特征可求出點B的坐标，由平移前抛物線的解析式結合平移後抛物線的頂點坐标，可求出平移後抛物線的解析式；

（2）設點M的坐标為（x，﹣x2 2x﹣1），則點N的坐标為（x，﹣x2 2x 3），由OM＝ON可得出點M，N關于x軸對稱，進而可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入點M的坐标中即可求出結論；

（3）利用二次函數圖象上點的坐标特征求出點C的坐标，由點B，C的坐标，利用待定系數法可求出直線CB的解析式，聯立直線CB與平移後的抛物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點F的坐标，設點P的坐标為（1，m），結合點C，F的坐标可得出CF2，CP2，PF2的值，分∠PCF＝90°，∠CFP＝90°及∠CPF＝90°三種情況，利用勾股定理可得出關于m的一元一次（二次）方程，解之即可得出點P的坐标．

【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣x2 2x﹣1＝﹣1，

∴點B的坐标為（0，﹣1）．

∵平移後的抛物線頂點為E（1，4），

∴平移後抛物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2 4，即y＝﹣x2 2x 3．

（2）設點M的坐标為（x，﹣x2 2x﹣1），則點N的坐标為（x，﹣x2 2x 3）．

∵OM＝ON，

∴點M，N關于x軸對稱，

∴﹣x2 2x﹣1＝﹣（﹣x2 2x 3），

整理，得：x2﹣2x﹣1＝0，

解得：x1＝1﹣，x2＝1 ，

∴點M的坐标為（1﹣，﹣2）或（1 ，﹣2）．

（3）當y＝0時，﹣x2 2x 3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴點C的坐标為（﹣1，0）．

設直線CB的解析式為y＝kx b（k≠0），

将B（0，﹣1），C（﹣1，0）代入y＝kx b，得：

，解得：，

∴直線CB的解析式為y＝﹣x﹣1．

聯立直線CB與平移後的抛物線解析式成方程組，得：，

解得：，，

∴點F的坐标為（4，﹣5）．

設點P的坐标為（1，m），

∵點C的坐标為（﹣1，0），點F的坐标為（4，﹣5），

∴CF2＝[4﹣（﹣1）]2 （﹣5﹣0）2＝50，CP2＝[1﹣（﹣1）]2 （m﹣0）2＝m2 4，PF2＝（4﹣1）2 （﹣5﹣m）2＝m2 10m 34．

①當∠PCF＝90°時，PF2＝CF2 CP2，即m2 10m 34＝50 m2 4，

解得：m＝2，

∴點P的坐标為（1，2）；

②當∠CFP＝90°時，CP2＝CF2 PF2，即m2 4＝50 m2 10m 34，

解得：m＝﹣8，

∴點P的坐标為（1，﹣8）；

③當∠CPF＝90°時，CF2＝CP2 PF2，即50＝m2 4 m2 10m 34，

解得：m1＝﹣6，m2＝1，

∴點P的坐标為（1，﹣6）或（1，1）．

綜上所述：在抛物線的對稱軸上存在點P，使得以C，F，P為頂點的三角形是直角三角形，點P的坐标為（1，﹣8），（1，﹣6），（1，1）或（1，2）．

【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐标特征、二次函數圖象與變換、等腰三角形的性質、解一元一次（二次）方程、待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖象上點的坐标特征、兩點間的距離以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）利用平移的性質結合平移後抛物線的頂點坐标，求出平移後抛物線的解析式；（2）利用等腰三角形的性質，找出關于x的一元二次方程；（3）分∠PCF＝90°，∠CFP＝90°及∠CPF＝90°三種情況，利用勾股定理找出關于m的方程．

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