中考數學壓軸常見題型之一，抛物線上的等腰三角形的存在性問題，其實就是坐标平面内兩點的距離公式的運用問題。例如下題：

如圖,抛物線y=ax^2 bx c(a≠0)與直線y=x 1相交于A(-1,0),B(4,m)兩點，且抛物線經過點C(5,0).

(1)求抛物線的解析式；

(2)點P是抛物線上的一個動點(不與點A，點B重合)，過點P作直作PD⊥x軸于點D，交直線AB于點E.

①當PE=2ED時，求P點的坐标；

②是否存在點P使△BEC為等腰三角形，假設存在請直接寫出點P的坐标，假設不存在，請說明理由.

分析：(1)求抛物線的解析式，最笨的方法就是列出關于三個系數的三元方程組去求解。當然也很實用。這裡可以設抛物線的交點式，更加簡便。然後代入B點的坐标，其縱坐标m是可求的。

(2)①隻要設P點的坐标，就可以得到E點相關的坐标，然後用兩點距離公式列方程求解就可以了。注意，方程會涉及絕對值，因為P點可能在E點的上方，也可能在E點的下方。

②等腰三角形的存在性問題，肯定要分類讨論，通常有三種情形，即三角形的任意兩條邊相等的三種情況。并且根據兩點的距離公式，列得三個方程，從而解得每種情形下的答案。或許有某些情形，可以用其它更簡便的方法求解，但很難保證三種情形都能用簡便的方法求解。因此建議全部利用兩點的距離公式列方程求解。而且這三種情形是相互依存的。這也是中考數學兩點距離公式最經典的運用。下面組織解題過程：

解：(1)依題意，可設抛物線解析式為：y=a(x 1)(x-5),

m=4 1=5，

将B(4,5)代入抛物線的解析式得：5=a(4 1)(4-5), 解得a=-1.

∴抛物線解析式為：y=-(x 1)(x-5)=-x^2 4x 5. 【化為一般形式不是必須的，而是為了下面運用的方便】

(2)設P(p, -p^2 4p 5), 則E(p,p 1)，【這兩點的坐标，下面兩個問題都要用到，所以寫在第(2)小題解的主幹中，有多少人會注意到這些細節呢？數學學習，對細節的要求是很高的。】

①當PE=2ED時, |(-p^2 4p 5)-(p 1)|=2|p 1|, 【水平或豎直方向上的兩點距離，直接用兩點的橫縱标或縱坐标的距離表示，即兩個坐标的差的絕對值】

當(-p^2 4p 5)-(p 1)=2(p 1)時，解得：p=2或p=-1(舍去), -p^2 4p 5=9. 【這是點P在點E的上方的情形】

當(-p^2 4p 5)-(p 1)=-2(p 1)時，解得：p=6或p=-1(舍去), -p^2 4p 5=-7.【這是點P在點E的下方的情形】

∴P(2,9)或P(6,-7).

②存在. P(0,5)或(4 根号13,-8-4根号13)或(4-根号13,-8 4根号13)或(3/4,119/16).

【按題目的要求，其實下面的解題内容是可以不寫入試卷中的】

若CE=CB, 則(p-5)^2 (p 1)^2=(4-5)^2 5^2, 【所列方程其實是CE^2=CB^2，下同】

解得：p=0或p=4(舍去),-p^2 4p 5=5；

若BE=CB,則(p-4)^2 (p 1-5)^2=26,【CB的平方上面其實已經算出來了】

解得：p=4 根号13, 或4-根号13；-p^2 4p 5=-8-4根号13或-8 4根号13.

若BE=CE,則2(p-4)^2=(p-5)^2 (p 1)^2, 【又在上面的基礎上，直接得到BE^2的最簡表達式，所以說三種情形是相互依存的，也可以先求出CE，CB，和BE關于p的表達式，然後再列三個方程】

解得：p=3/4, -p^2 4p 5=5=119/16.

所以P(0,5)或(4 根号13,-8-4根号13)或(4-根号13,-8 4根号13)或(3/4,119/16).

多練一練，中考遇到這種題，就可以輕松地迎刃而解了。

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