#頭條創作挑戰賽#

高考數學關于三角函數的多選題，雖然并不是很難，但是相當令人讨厭，因為在它的身上往往要花比較多的時間，而且還要非常小心，一不小心選錯就丢分了，我猜你一定不會喜歡這類題。正因為如此，你更應該在平時多練練這個題型，高考中才能無往不利。下面這道題就是2022年全國新高考數學II卷的這種類型題：

函數f(x)=sin(2x φ) (0<φ<π)的圖像以(2π/3,0)中心對稱, 則

A. y=f(x)在(0,5π/12)單調遞減；

B. y=f(x)在(-π/12,11π/12)有兩個極值點;

C. 直線x=7π/6是一條對稱軸； D. 直線y=√3/2-x是一條切線.

分析：解決這道題，需要先總結出以下四個要點：

(1)因為正弦函數的參數ω=2，所以f(x)的最小正周期為t=2π/2=π,

(2)因為f(x)過(2π/3,0)，即有零點x=2π/3，所以f(x)的零點為x=2π/3 kπ (k∈Z).

(3)f(x)的極大值點在零點向右平移四分之一周期，也就是在x=2π/3 π/4 kπ=11π/12 kπ取得極大值。

(4)f(x)的極小值點在零點向左平移四分之一個周期，也就是在x=2π/3-π/4 kπ=5π/12 kπ取得極小值。(3)(4)都是結合正弦函數的周期性狀得到的。如果不理解，可以結合草圖。其實這裡也有可能是極大值在零點的左側，極小值在零點的右側。如果要分析排除這種情形的可能性，實在非常麻煩，必須通過檢驗才行。這裡就省略了！

當k=-1時, 可求得f(x)的一個極大值點x=-π/12; 當k=0時，又可以得到函數的一個極小值點5π/12。[-π/12, 5π/12]正好是正弦函數的半個周期，而且是單調遞減的半個周期。而A選項的區間屬于這半個周期，即(0,5π/12)⊂[-π/12, 5π/12]，所以A選項是正确的。

由(1)(3)可知，B是錯誤的。因為函數最小正周期等于π，在一個周期上，正弦函數最多有兩個極值點，而B選項中的區間正好是一個周期，而且是一個開區間，(3)中又指明了這個周期區間的右端點是在整個函數中是一個極值點。這樣的周期開區間上，就隻能有一個極值點，所以B錯誤。

由(4)可以知道x=5π/12是函數圖像的一條對稱軸，又7π/6-5π/12=3π/4，即x=7π/6與對稱軸x=5π/12的水平距離是四分之三個周期。說明這其實是一個零點，而不是一個極值點，即不是一條對稱軸，所以C錯誤。

現在隻有A選項确定是正确的，因為是多選題，所以最後一個選項Ｄ，也是正确的。如果要正面分析D選項的正确性，就幾乎要另開一個爐竈了。

這回需要由零點x=2π/3，即f(2π/3)=sin(4π/3 φ)=0, 得到4π/3 φ=kπ, 并求得φ=kπ-4π/3，或φ=kπ 2π/3。

對函數求導，當f’(x)=2cos(2x φ)=-1，即切線斜率為-1時, 2x φ=-π/3 2kπ或2π/3 2kπ.

當k=-1時，x=0，f(0)=sin(-π-4π/3)=-√3/2, 這就是切線所經過的點，用點斜式列切線方程，就可以得到D選項中的直線. 因此D正确。答案選A、D.

這道題怎麼樣？夠麻煩的吧！不過如果你能畫出函數的圖像，根據圖像，ABC都是可以檢驗判斷出來的。D選項就沒有那麼方便了。你覺得呢？

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