1.等式：用“=”号連接而成的式子叫等式.

2.等式的性質：

等式性質1：等式兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式;

等式性質2：等式兩邊都乘以(或除以)同一個不為零的數，所得結果仍是等式.

3.方程：含未知數的等式，叫方程.

4.方程的解：使等式左右兩邊相等的未知數的值叫方程的解;注意：“方程的解就能代入”!

5.移項：改變符号後，把方程的項從一邊移到另一邊叫移項.移項的依據是等式性質1.

6.一元一次方程：隻含有一個未知數，并且未知數的次數是1，并且含未知數項的系數不是零的整式方程是一元一次方程.

7.一元一次方程的标準形式： ax b=0(x是未知數，a、b是已知數，且a≠0).

8.一元一次方程解法的一般步驟：

×100%

(3)商品銷售額=商品銷售價×商品銷售量(4)商品的銷售利潤=(銷售價-成本價)×銷售量

(5)商品打幾折出售，就是按原價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原價的80%出售.

1. 某商店開張，為了吸引顧客，所有商品一律按八折優惠出售，已知某種皮鞋進價60元一雙，八折出售後商家獲利潤率為40%，問這種皮鞋标價是多少元?優惠價是多少元?

解：設這種皮鞋标價是x元

8/10x=60×(1 40%)

解得：x=105

105×8/10=84(元)

答：這種皮鞋标價是105元,優惠價是84元

3.一家商店将一種自行車按進價提高45%後标價，又以八折優惠賣出，結果每輛仍獲利50元，這種自行車每輛的進價是多少元?若設這種自行車每輛的進價是x元，那麼所列方程為( B )

A.45%×(1 80%)x-x=50 B. 80%×(1 45%)x - x = 50

C. x-80%×(1 45%)x = 50 D.80%×(1-45%)x - x = 50

解析: 因為 自行車按進價提高45%後标價， 已經設過自行車進價是X元了 所以 X(1 45%)=145%X ——也就是标價 因為 (标價)又以八折優惠賣出 所以 标價×八折=銷售價 145%X × 0.8 = 1.16 X 因為 結果每輛獲利50元 (獲益 = 銷售價 - 進價 ) 所以 獲利的50元 = 銷售價1.16X元 - 進價X元 上為解題思路， 得到方程 ： 145%X • 0.8 - X =50

4.某商品的進價為800元，出售時标價為1200元，後來由于該商品積壓，商店準備打折出售，但要保持利潤率不低于5%，則至多打幾折.

解析：按最少利潤為800*5%=40,則出售價為800 40=840,則打折為840/1200=70%,最低可以打七折

5.一家商店将某種型号的彩電先按原售價提高40%，然後在廣告中寫上“大酬賓，八折優惠”.經顧客投拆後，拆法部門按已得非法收入的10倍處以每台2700元的罰款，求每台彩電的原售價.

解:設每台彩電零售價為x.

[(1 40%)×80%]x-x=2700÷10

x=2250

答:每台彩電零售價為2250元.

知能點2： 方案選擇問題

6.某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經粗加工後銷售，每噸利潤可達4500元，經精加工後銷售，每噸利潤漲至7500元，當地一家公司收購這種蔬菜140噸，該公司的加工生産能力是： 如果對蔬菜進行精加工，每天可加工16噸，如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季度等條件限制，公司必須在15天将這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：

方案一：将蔬菜全部進行粗加工.

方案二：盡可能多地對蔬菜進行粗加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接銷售.

方案三：将部分蔬菜進行精加工，其餘蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成.

你認為哪種方案獲利最多?為什麼?

方案三獲利多

方案一：140*4500=630000

方案二：15*6=90 90*7500=675000 (140-90)*1000=50000 675000 50000=725000

方案三：設粗加工x天 16*x 6*(15-x)=140 x=5天

精加工15-5=10天

5*16*4500 10*6*7500=360000 450000=810000

7.某市移動通訊公司開設了兩種通訊業務：“全球通”使用者先繳50元月基礎費，然後每通話1分鐘，再付電話費0.2元;“神州行”不繳月基礎費，每通話1分鐘需付話費0.4元(這裡均指市内電話).若一個月内通話x分鐘，兩種通話方式的費用分别為y1元和y2元.

(1)寫出y1，y2與x之間的函數關系式(即等式).

(2)一個月内通話多少分鐘，兩種通話方式的費用相同?

(3)若某人預計一個月内使用話費120元，則應選擇哪一種通話方式較合算?

(1)全球通:50 0.2*X

神州行:0.4X

(2) 50 0.2X=0.4X 得X=250

(3)50 0.2*120=74

0.4*120=48

選擇神州行更優惠!

8.某地區居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過部分按基本電價的70%收費。(1)某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a.

(2)若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦時?應交電費是多少元?

(1)0.5a (80-a)×0.3=30 (2)設九月份用電度數為Y,則：

0.5a 24-0.3a=30 <30×0.5 (Y-30)×0.5>÷X=0.36

0.5a-0.3a=30-24 ( 15 0.3Y-9)÷X=0.36

0.2a=6 6 0.3Y=0.36Y

a=30 0.06Y=6

Y=100

知能點3儲蓄、儲蓄利息問題

(1)顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅

(2)利息=本金×利率×期數 本息和=本金 利息 利息稅=利息×稅率(20%)

(3)

11. 某同學把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年後共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少?(不計利息稅)

設半年期的利率是X可得方程式:

250*(1 1/2X)=252.7

解出X=2.16%

因為銀行挂牌的利率全部都是年化的利率,半年期不足1年,因此,隻有1/2!

一年2.25

三年2.70

六年2.88

12. 為了準備6年後小明上大學的學費20000元，他的父親現在就參加了教育儲蓄，下面有三種教育儲蓄方式：

(1)直接存入一個6年期;

(2)先存入一個三年期，3年後将本息和自動轉存一個三年期;

(3)先存入一個一年期的，後将本息和自動轉存下一個一年期;你認為哪種教育儲蓄方式開始存入的本金比較少?

1.解設存六年期的本金x元 列方程x(1 6×2.88%)=20000解得x=17053

2.設存入兩個三年期的開始本金為y元 列方程y(1 2.7%×3)×(1 2.7%×3)=20000解得x=17115

3設存一年期本金為z元 列方程(1 2.25%)z=20000解得x=17894

13.小剛的爸爸前年買了某公司的二年期債券4500元，今年到期，扣除利息稅後，共得本利和約4700元，問這種債券的年利率是多少(精确到0.01%).

設年利率是X

4500×2×X×(1-5%)=4700-4500

9000×95%X=200

8550X=200

X=200÷8550

X≈2.34%

知能點4：工程問題

工作量=工作效率×工作時間 工作效率=工作量÷工作時間

工作時間=工作量÷工作效率 完成某項任務的各工作量的和=總工作量=1

17. 一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現先由甲、乙合作3天後，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程?

設乙還要x天完成。

因為甲獨做15天完成，乙獨做12天完成，所以甲的工作效率是1/15，乙的工作效率是1/12，列得：

3*(1/15 1/12) x*(1/12)=1

x*(1/12)=11/20

x=33/5=6又5/3 約7天

答：乙還要33/5天才能完成全部工程。

18. 一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管，單獨開甲管6小時可注滿水池;單獨開乙管8小時可注滿水池，單獨開丙管9小時可将滿池水排空，若先将甲、乙管同時開放2小時，然後打開丙管，問打開丙管後幾小時可注滿水池?

甲注水工效1/6

乙注水工效1/8

丙排水工效1/9

甲乙同時開放2小時,注水：

1/6×2 1/8×2=7/12

同時打開甲乙丙,每小時注水：

1/6 1/8-1/9=13/72

注滿還需要：

(1-7/12)÷13/72=30/13小時

注滿還需要x小時

(1/6 1/8-1/9)x=1-(1/6 1/8)*2

13/72x=5/12

x=30/13

19.一批工業最新動态信息輸入管理儲存網絡，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先做30分鐘，然後甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作?

總工程量為1 甲的速度是x 乙的是y

6x=1 x=1/6 4y=1 y=1/4 30/60 *1/6 (1/4 1/6)z=1 z=2.2 小時

知能點5：若幹應用問題等量關系的規律

(1)和、差、倍、分問題 此類題既可有示運算關系，又可表示相等關系，要結合題意特别注意題目中的關鍵詞語的含義，如相等、和差、幾倍、幾分之幾、多、少、快、慢等，它們能指導我們正确地列出代數式或方程式。 增長量=原有量×增長率 現在量=原有量 增長量

(2)等積變形問題

常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式 V=底面積×高=S·h=

r2h

②長方體的體積 V=長×寬×高=abc

22.某糧庫裝糧食，第一個倉庫是第二個倉庫存糧的3倍，如果從第一個倉庫中取出20噸放入第二個倉庫中，第二個倉庫中的糧食是第一個中的

。問每個倉庫各有多少糧食?

設第一倉原有3x噸,第二倉原有x噸

(3x-20)*5/7=x 20

5(3x-20)=7(x 20)

15x-100=7x 140

8x=240

x=30

3x=3×30=90

答：第一倉原有90噸,第二倉原有30噸

24.長方體甲的長、寬、高分别為260mm，150mm，325mm，長方體乙的底面積為130×130mm2，又知甲的體積是乙的體積的2.5倍，求乙的高?

設乙的高為hmm，根據題意得：

260×150×325=130×130×h×2.5，

解得：h=300(mm).

答：乙的高為300mm.

知能點6：行程問題

基本量之間的關系： 路程=速度×時間 時間=路程÷速度 速度=路程÷時間

(1)相遇問題 (2)追及問題

快行距 慢行距=原距 快行距-慢行距=原距

(3)航行問題 順水(風)速度=靜水(風)速度 水流(風)速度

逆水(風)速度=靜水(風)速度-水流(風)速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點考慮相等關系.

26. 甲乙兩人在同一道路上從相距5千米的A、B兩地同向而行，甲的速度為5千米/小時，乙的速度為3千米/小時，甲帶着一隻狗，當甲追乙時，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反複，直至甲追上乙為止，已知狗的速度為15千米/小時，求此過程中，狗跑的總路程是多少?

設兩人相遇需要時間x小時，則由題意可列方程，

3x 5=5x，

5x-3x=5，

x=5÷2，

x=2.5;

由于小狗一隻在二人之間來回一直跑，沒有停，所以到甲追上乙時，小狗總共跑了：15×2.5=37.5(千米)，

答：狗跑的總路程是37.5千米.

27. 某船從A地順流而下到達B地，然後逆流返回，到達A、B兩地之間的C地，一共航行了7小時，已知此船在靜水中的速度為8千米/時，水流速度為2千米/時。A、C兩地之間的路程為10千米，求A、B兩地之間的路程。

C,B兩地之間的路程是x千米

(10 x)/(8 2) x/(8-2)=7

x=22.5

22.5 10=32.5

A,B兩地之間的路程是32.5千米

28.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長.

設第一橋長a,第二橋長b

600米/分=10米/秒

b-a=10*5=50m

b=a 50

b=2a-50

2a-50=a 50

a=100

b=150

知能點7：數字問題

(1)要搞清楚數的表示方法：一個三位數的百位數字為a，十位數字是b，個位數字為c(其中a、b、c均為整數，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9)則這個三位數表示為：100a 10b c。然後抓住數字間或新數、原數之間的關系找等量關系列方程.

(2)數字問題中一些表示：兩個連續整數之間的關系，較大的比較小的大1;偶數用2n表示，連續的偶數用2n 2或2n—2表示;奇數用2n 1或2n—1表示。

33. 一個三位數，三個數位上的數字之和是17，百位上的數比十位上的數大7，個位上的數是十位上的數的3倍，求這個三位數.

設十位上的數字為x，則個位上的數字為3x，百位上的數字是(x 7)，

由題意得：3x x (x 7)=17，

解得：x=2，

即可得個位數字為6，十位數字為2，百位數字為9，

答：這個三位數為926.

34. 一個兩位數，個位上的數是十位上的數的2倍，如果把十位與個位上的數對調，那麼所得的兩位數比原兩位數大36，求原來的兩位數

設原十位數為X,個位數為2X,原兩位數為(10X 2X).

(2X*10 X)-(10X 2X)=36

(20X X)-(10X 2X)=36

21X-12X=36

9X=36

X=4

原兩位數=10X 2X=10×4 2×4=48

答：原來的兩位數是48.

注意：雖然我們分了幾種類型對應用題進行了研究，但實際生活中的問題是千變萬化的，遠不止這幾類問題。因此我們要想學好列方程解應用題，就要學會觀察事物，關心日常生産生活中的各種問題，如市場經濟問題等等，要會具體情況具體分析，靈活運用所學知識，認真審題，适當設元，尋找等量關系，從而列出方程，解出方程，使問題得解！

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