古代數學趣題及答案?　　用現代數學方法解古題“物不知數”，下面我們就來聊聊關于古代數學趣題及答案?接下來我們就一起去了解一下吧!

古代數學趣題及答案

　　用現代數學方法解古題“物不知數”

　　2019年8月20日星期二

　　原文：

　　“

　　今有物，不知其數。三三數之，剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二。問：物幾何？

　　”

　　記載于距今約一千五百年前（公元四、五世紀）的中國古代重要的數學著作《孫子算經》下卷第28題，“物不知數問題”也叫“孫子問題”。

《孫子算經》（本文圖片均來自網絡）

　　譯文：

　　“

　　現有一些物品，不知道有多少個。如果三個三個地數，會剩下2個；五個五個地數，會剩下3個；七個七個地數，也會剩下2個。請問：這些物品的數量至少是多少個？

　　”

　　數學化：

　　設此物之數為：x

　　則有：

　　x≡2（mod　3）或x÷3＝q1……2，或x＝3×q1＋2，q1∈Z（整數）

　　x≡3（mod　5）或x÷5＝q2……3，或x＝5×q2＋3，q2∈Z（整數）

　　x≡2（mod　7）或x÷7＝q3……2，或x＝7×q3＋2，q3∈Z（整數）

　　更為通用的寫法是黑體部分。“x≡2（mod　3）”讀作：x同餘2模3，表示“除以3（或以3為模）時，x和2具有同餘關系”。這個式子叫做“一次同餘方程”，一次同餘方程多于一個時，叫做“一次同餘方程組”。下文中将使用這種寫法，務必使其不要成為閱讀障礙。

　　（重要程度★★★★★）

　　明代著名的大數學家程大位，在他所著的《算法統宗》中，将“孫子問題”的解法編成了歌訣，名曰《孫子歌》：

　　“

　　三人同行七十稀，

　　五樹梅花廿一枝；

　　七子團圓正半月，

　　除百零五便得知。

　　”

程大位

《算法統宗》

　　歌訣中的“廿”，讀音與“念”音相同。“廿”即二十的意思。

　　歌訣中的每一句話，都指出了一步解題方法：

　　“三（3）人同行七十（70）稀”：是說除以3所得的餘數，要乘以70，即：2×70；

　　“五（5）樹梅花廿一（21）枝”：是說除以5所得的餘數，要乘以21，即：3×21；

　　“七（7）子團圓正半月（15）”：是說除以7所得的餘數，要乘以15，即：2×15；

　　“除百零五（105）便得知”：是說要把上面所乘得的三個數相加，加得的和如果大于105，便應減去105，或者減去105的倍數。

　　計算過程如下：

　　2×70 3×21 2×15=140 63 30=233

　　233-105-105=23

　　或許您和我一樣，初見“古解”，一臉懵懂，不知其所以然。

　　下面給出較之《孫子歌》更為通用的解法，可以适用于除數為包含但不限于｛3，5，7｝的更一般的“物不知數問題”。

　　為了降低難度，不再讨論“k個一次同餘方程組”的解法，隻讨論“3個一次同餘方程組”的解法，其方法可以遞推，進而得到更一般的解法。

　　式①：

　　設有3個一次同餘方程組如下：

　　x≡b1（mod　m1）

　　x≡b2（mod　m2）

　　x≡b3（mod　m3）

　　其中：除數｛m1，m2，m3｝兩兩互素，即：（m1，m2）＝1，（m1，m3）＝1，（m2，m3）＝1；對應餘數小于除數，即：b1<m1，b2<m2，b3<m3。

　　若令：m1＝3、m2＝5、m3＝7，b1＝2、b2＝3、b3＝2，則可得文首古題。其中：（3，5）＝1，（3，7）＝1，（5，7）＝1；2<3，3<5，2<7。

　　“除數兩兩互素”是重要的前提條件，否則，沒有“漂亮的通解”，這是後話，本文不表。

　　預備知識：

　　（1）若a、b∈Z，且（a，b）＝1，則a與b互素。

　　即：兩個整數的最大公因數等于1時，這兩個整數互素。

　　（2）若a、b、c∈Z，且（a，b）＝1、（a，c）＝1，則（a，bc）＝1。

　　即：若整數a與整數b互素，且整數a與整數c互素，則整數a與整數b、c的積互素。

　　（3）若a、b∈Z，且（a，b）＝1，則存在u、v∈Z，使得：ua＋vb＝1。

　　這個定理很重要，它将兩個整數的最大公因數表示成了這兩個整數的線性組合，可以用具體的算式表示或計算了。

　　預備知識（1）來源于“互素”的定義，本文并不打算給出（2）、（3）的證明，請參閱《高等代數》或《數論》的相關基礎知識。

《高等代數》

《數論》

　　式②：

　　由｛m1，m2，m3｝兩兩互素及預備知識（1）、（2），可得：

　　（m1，m2m3）＝1

　　（m2，m1m3）＝1

　　（m3，m1m2）＝1

　　式③：

　　由預備知識（3），可得：

　　u1m1＋v1（m2m3）＝1

　　u2m2＋v2（m1m3）＝1

　　u3m3＋v3（m1m2）＝1

　　式④：

　　将式③對應模m1、m2、m3，可得：

　　v1（m2m3）≡1（mod　m1）

　　v2（m1m3）≡1（mod　m2）

　　v3（m1m2）≡1（mod　m3）

　　什麼意思？

　　以式③中第1式為例：由于u1m1＋v1（m2m3）＝1，所以u1m1＋v1（m2m3）除以m1餘數為1；左加數u1m1是m1的倍數，除以m1餘數為0；故而右加數v1（m2m3）除以m1的餘數為1。第2、3式類同。

　　式⑤：

　　由于b1<m1，b2<m2，b3<m3，将式④中每個式子兩端依次乘以b1、b2、b3，仍然對模m1、m2、m3保持同餘關系，可得：

　　v1（m2m3）b1≡b1（mod　m1）

　　v2（m1m3）b2≡b2（mod　m2）

　　v3（m1m2）b3≡b3（mod　m3）

　　什麼意思？

　　舉個例子：

　　7≡1（mod　3）

　　即：7除以3餘1

　　那麼，7×2＝14除以3則餘1×2＝2，即：

　　14≡2（mod　3）

　　但兩端不能乘以大于或等于除數3的倍數。

　　式⑥：

　　構造x的一個特解：

　　x＝v1（m2m3）b1＋v2（m1m3）b2＋v3（m1m2）b3

　　式⑦：

　　擴充為x的通解：

　　x＝v1（m2m3）b1＋v2（m1m3）b2＋v3（m1m2）b3＋km1m2m3

　　其中：k∈Z

　　（重要程度★★★★★）

　　将文首古題中的參數：m1＝3、m2＝5、m3＝7，b1＝2、b2＝3、b3＝2，代入式⑦得：

　　x＝v1×（5×7）×2＋v2×（3×7）×3＋v3×（3×5）×2＋k×3×5×7

＝70v1＋63v2＋30v3＋105k

　　也許，聰明的您已經發現：我們将求x的問題轉化成了求參數v1、v2、v3的問題。将1個未知數變成3個未知數，似乎讓問題複雜化了。然而，事實上，參數v1、v2、v3是可以通過确定的計算求得的，這個“确定的計算”應用了“輾轉相除法”，限于篇幅，另行介紹。

　　應用這種方法求得的參數值是：

　　v1＝－1

　　v2＝1

　　v3＝1

　　故而：

　　x＝70v1＋63v2＋30v3＋105k

＝－70＋63＋30＋105k

＝23＋105k

　　所謂“今解”，本質上并不現代，頂多是所用數學符号現代化了。本文所述“今解”，我國南宋數學家秦九韶于13世紀所著《數書九章》卷一中就已明确給出，名為“大衍求一術”。歐洲數學家歐拉約于1743年發現這一算法，高斯約于1801年發現這一算法。因此，其結論也被稱為“中國剩餘定理”。從今天的眼光來看，“物不知數問題”仍然是一個難題，即便高中的優秀生要弄通前文所講道理，估計也得費好一番工夫。況且，還有不滿足“除數兩兩互素”條件的所謂“物不知數問題”，更是難上加難。這的确是我國古代數學的一大驕傲！

秦九韶

《數書九章》

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler ，1707.4.15～1783.9.18），瑞士數學家

約翰·卡爾·弗裡德裡希·高斯（1777.4.30～1855.2.23），德國數學家

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