#頭條創作挑戰賽#

學過高數的小夥伴們應該都知道，在學習極限的局部性質時，有一個有界性定理，它指的是閉區間上的連續函數必有界。但當時并沒有進行證明。在《老黃學高數》系列視頻第125講中，對有界性定理有詳細的介紹，同樣沒有給出證明。

那是因為證明這個定理，需要運用到實數完備性的原理，而實數完備性是後面才學的知識，所以當時無法證明。老黃這裡就要運用實數完備性的定理，對有界性定理進行證明。老黃會給大家分享兩種證法。

證法一運用的是有限覆蓋定理。即閉區間的無限開覆蓋必包含有限開覆蓋。那是《老黃學高數》系列視頻第221講分享的内容。無限(有限)開覆蓋的定義則在第220講。

證法二運用的是聚點定理的推論，緻密性定理，即有界無限數列必含有收斂子列。那是《老黃學高數》系列視頻第219講分享的内容。往前的章節還有聚點的定義，和聚點定理等内容的介紹。

證明有界性定理：若函數f在[a,b]上連續，則f在[a,b]上有界.

證法一：(應用有限覆蓋定理)由連續函數局部有界性知，【其實就是極限的局部有界性】

對每一點x0∈[a,b]，都存在鄰域U(x0, δx)及正數Mx, 使得

|f(x)|≤Mx, x∈U(x0, δx)∩[a,b]，則

開區間集H={U(x0, δx)|x0∈[a,b]}是[a,b]的一個無限開覆蓋.【由閉區間上所有點的鄰域構成的開區間集，就對閉區間形成了一個無限開覆蓋】

由有限覆蓋定理，存在H的一個有限子集

H’={U(xi, δi)|xi∈[a,b], i=1,2,…k}覆蓋住[a,b]，

且存在正數M1,M2,…Mk, 使得對一切x∈U(xi, δi)∩[a,b]，

有|f(x)|≤Mi, i=1,2,…k.

記M=max(1≤i≤k)Mi, 則對任何x∈[a,b]，

x必屬于某U(xi, δi)，且|f(x)|≤Mi≤M.【符合函數有界的定義】

∴f在[a,b]上有界.

證法二：(應用緻密性定理)若f在[a,b]上無上界，則【反證法】

對任何正整數n，存在xn∈[a,b]，使得f(xn)>n.【無上界的定義】

依次取n=1,2,…，則得到數列{xn}⊂[a,b].

由緻密性定理，{xn}含有收斂子列{x_(nk)}, 記lim(k→∞) x_(nk)=ξ.

由a≤x_(nk)≤b及數列極限的保不等式性，ξ∈[a,b].

∵f在ξ連續，∴存在實數A, 使lim(k→∞) f(x_(nk ))=f(ξ)=A.

又f(x_(nk))>nk≥k→ ∞, ∴lim(k→∞) f(x_(nk ))= ∞，矛盾!

∴f在[a,b]上有上界. 同理可證f在[a,b]上有下界，

∴f在[a,b]上有界.

兩種證明方法，你都看懂了嗎？你覺得哪種更好，你更喜歡哪一種呢？

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!