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五年級
【問題1】小強用一根10米長的繩子繞一棵樹幹3圈後,還剩下0.58米。這棵樹幹橫截面的面積是多少平方米?
【分析與解】要想求這棵樹幹的橫截面的面積,先要求出樹幹橫截面的半徑。根據“小強用一根10米長的繩子繞一棵樹幹3圈後,還剩下0.58米”,可以求出樹幹橫截面的半徑是(10-0.58)÷3÷2÷3.14=0.5(米),這棵樹幹橫截面的面積是3.14×0.52=0.785(平方米)。
【問題2】一個挂鐘,鐘面上的時針長5厘米。這根時針的尖端一晝夜所劃過的路線,一共有多少厘米?
【分析與解】挂鐘上的時針每小時走一大格,這根時針的尖端一晝夜所劃過的路線就是它經過24小時所走的厘米數,即時針的尖端走兩圈的厘米數。這根時針的尖端經過1圈走2×π×5=10π(厘米),一晝夜所劃過的路線一共有10π×2=20π(厘米)。
【問題3】一根蠟燭第一次燒掉全長的1/5,第二次燒掉剩下的一半。這根蠟燭還剩下全長的幾分之幾?
【分析與解】這根蠟燭第一次燒掉全長的1/5後,還乘下這根蠟燭的1-1/5=4/5。第二次燒掉剩下的一半,即燒掉這根蠟燭的4/5×1/2=2/5。因此,這根蠟燭還剩下全長的1-1/5-2/5=2/5。
【問題4】有12支鉛筆,平均分給2個同學。每支鉛筆是鉛筆總數的每人分得的鉛筆是總數的。
【分析與解】求每支鉛筆是鉛筆總數的幾分之幾,要把12支鉛筆看作單位“1”,這裡是把單位“1”平均分成12份,其中1份占12份的1/12,即每支鉛筆是鉛筆總數的1/12。求每人分得的鉛筆是總數的幾分之幾,仍把12支鉛筆看作單位“1”,這裡把單位“1”平均分成2份,其中1份占2份的1/2,即每人分得的鉛筆是總數的1/2。
【問題5】一瓶油重7/2千克,第一個星期吃了3/2千克,第二個星期吃了6/5千克。這瓶油比原來少了多少千克?
【分析與解】這裡要求的是這瓶油比原來少了多少千克,就是求兩個星期一共吃了多少千克油。即3/2 6/5=27/10。
【問題6】圖中正方形的面積是8平方厘米,你能算出黃色部分的面積嗎?
【分析與解】右圖中黃色部分是一個扇形,其面積占整個圓形面積的,因此,隻要求出圓形的面積就容易求出黃色部分的面積。可題目中并沒有給出圓形的半徑,怎樣才能求出圓形的面積呢?仔細觀察,正方形的邊長就是圓的半徑,正方形的面積等于圓的半徑的平方,即r²=8,因此,圓的面積是π×8=8π(平方厘米),黃色部分的面積為8π×=6π(平方厘米)。
【問題7】小明、小華和小芳各做一架航模飛機,小明用了3/4小時,小華用了5/6小時,小芳用了0.8小時。( )做得更快。
【分析與解】這裡要正确理解“做得更快”的含義,用的時間越少,做得越快。3/4=0.75,5/6=0.8333,容易得到3/4<0.8<5/6。因此,小明做得更快。
【問題8】一個直徑為6米的圓形花壇,在它的周圍鋪設一條2米寬的小路。求這條小路的面積。
【分析與解】如圖,要求小路的面積,就是求圖中圓環的面積,内圓的半徑是6÷2=3(米),外圓的半徑是3 2=5(米),因此,這條小路的面積是π×5²-π×3²=16π(平方米)。
【問題9】判斷:半徑2厘米的圓,周長與面積相等。( )
【分析與解】雖然半徑是2厘米的圓的周長和面積的數值都是4π,但周長和面積的意義不同,單位名稱也不同,不能進行比較,因此,本題錯誤。
【問題10】一塊草坪被4條1米寬的小路平均分成了9小塊。草坪的面積是多少平方米?
【分析與解】本題中的草坪被4條小路分成了9塊,看似比較困難,這裡我們可通過平移将這9塊草坪,将它們轉化成一塊長為45-1×2=43(米)、寬為27-1×2=25(米)的長方形,草坪的面積為43×25=1075(平方米)。
六年級
【易錯題1】計算下面各題:6500÷25×4;106-43 57;84×10÷84×10
【問診】學生中常見的錯誤分别為:6500÷25×4=6500÷100=65;106-43 57=106-100=6; 84×10÷84×10=(84×10)÷(84×10)=1。顯然受簡便計算思維定勢的影響,他們把“6500÷25×4”與“6500÷(25×4)”,“106-43 57”與106-(43 57)”,“84×10÷84×10”與“(84×10)÷(84×10)”混淆。引導孩子對簡便計算進行審題,明确其運算的意義尤其重要。
【練習】6÷3/5-3/5÷6 ;4×3÷4×3;125×125×64
【易錯題2】一根5米長的繩子如果用去4/5米,還剩多少米?如果用去4/5,還剩多少米?
【問診】學生對于2個4/5的意義理解不清楚,誤以為“用去4/5米”和“用去4/5”是一回事。第一個“用去4/5米”,是用去了一個具體的長度,而第二個指的是分率,用去的占全長的4/5,剩下全長的1/5。因此,理解題目中分數的意義是解決此類問題的基礎。
【練習】把4/5米長的繩子平均分成4份,每份占全長的幾分之幾?每份長多少米?
【易錯題3】把一張半徑為3厘米的圓形紙片平均剪成兩個半圓,每個半圓的周長是多少?
【問診】半圓的周長≠圓周長的一半。不少學生誤以為圓周長的一半就是每個半圓形紙片的周長,直接用2×3.14×3÷2=9.42(厘米)。半圓周長與圓周長的一半,兩個看似相同,實則不同,半圓的周長=圓周長的一半 直徑的長,半圓周長比圓周長的一半多出了一條直徑。因此本題還要用9.42 3×2=15.42(厘米)。解決類似的問題要學會畫圖分析,并注意概念間的不同。
【練習】下圖的周長是( )米。
A.25.7 B.31.4 C.15.7 D.39.25
【易錯題4】給3、5、9再配上一個數,組成比例。這個數是( )。
【問診】這道題目的答案并不唯一,不少學生在完成此題時,常常考慮問題不全面,隻考慮了其中的一種情況,忽略了其他的情況。本題可以分三種情況讨論:如果補充的數是最大數,則為5×9÷3=15;如果補充的數是最小數,則為3×5÷9=5/3;如果補充的數是中間的數,則為3×9÷5=27/5。因此,對于一個數學問題,考慮是否全面,影響着解題的正确率。
【練習】一個等腰三角形的兩條邊是8cm與15cm。這個三角形的周長是( )。
【易錯題5】下面哪些是質數,哪些是合數?1,16,19,57,51,23,91,97,87,79,29
【問診】完成本題時,有些學生判斷質數和合數時受到奇數和偶數的影響,誤認為奇數51和91是質數。其實51是3的倍數,91是7的倍數,所以它們都是合數。有些學生認為19、79、29是合數,他們看到這幾個數的個位是9,9是合數,所以這些數也是合數,其實這些數都是質數。有些學生對判斷97是否是質數時,不知如何思考,憑空猜測。其實我們隻要用97分别去除以2、3、5、7等質數,發現都不是它們的倍數,所以97是質數。
【練習】請找出100以内的所有質數。
【易錯題6】如圖,請你把梯形繞A點順時針旋轉900,并畫出來。
【問診】圖形旋轉有三個關鍵要素:一是旋轉的中心,即繞哪一個點旋轉;二是旋轉的方向,三是旋轉的角度。本題有3種典型錯例:
圖1旋轉的中心點、方向和角度都沒有問題,但旋轉時把梯形的上底和下底搞混淆,導緻梯形“斜腰”的方向明顯出現了錯誤。圖2乍一看挺有道理,仔細觀察會發現梯形沒有繞着A點進行旋轉,旋轉的中心點發生了錯誤。圖3“疊加”了圖1和圖2的錯誤,旋轉中心點以及梯形的上底和下底在旋轉時都出現了偏差。
【練習】把下圖繞O點順時針旋轉90°,并畫出來。
【易錯題7】做一節底面直徑為2分米、長3米的煙囪,至少需要多少平方分米鐵皮?(得數保留整數)
【問診】煙囪是“無蓋”的。由于生活經驗的缺乏,學生習慣于求标準圓柱體的表面積,易算成“有蓋”的。因此,本題隻要求該圓柱體的側面積,不需要求圓柱體的表面積。另外,粗心的學生還會忽視本題中單位不一緻的問題。煙囪的長是3米,而直徑是用分米做單位,最後要求的面積也是用平方分米作單位的。因此,在解答此題時,要将煙囪的長度單位化成分米。最後的結果要保留整數,要保證鐵皮夠用,本題應當采用“進一法”保留近似數,部分學生會誤用“四舍五入”保留近似數。數學上有很多這樣的題目要結合生活的原型進行思考。
【練習】長方體火柴盒的長5厘米、寬3厘米、高1厘米。請你算出制作一個這樣的火柴盒至少用硬紙多少平方厘米?(不算粘貼處)
【易錯題8】在比例尺是1/1000的地圖上,量得一長方形地的長是7.5厘米,寬為4厘米。這塊地的實際面積是多少平方米?
【問診】不少學生會用7.5×4=30(平方厘米)求出這塊長方形地的圖上面積,再用圖上面積30×2000=60000平方厘米=6平方米,求出實際的占地面積。這部分同學忽視了面積的變化規律,如果圖上距離:實際距離=1:2000,那麼圖上面積:實際面積應為:12:20002,而不是1:2000。本題求出圖上面積後,應用30×2000×2000=120000000平方厘米=12000平方米求出實際面積;或者也可以先求出實際的長和寬,再求出實際的占地面積。
【練習】在比例尺為1:2000的沙盤上,實際面積為800000平方米的生态公園,圖上的面積是多少平方米?
【易錯題9】用20千克黃豆可榨油13/5千克,平均1千克黃豆可榨油多少千克?榨1千克油需要多少千克黃豆?
【問診】此題圍繞黃豆和油兩個量展開,都運用除法計算,很多同學理不清“20÷13/5”和“13/5÷20”是哪個量。為了幫助孩子學會,引導他們學會從多角度分析,有以下方法:①估算,确定方向。“20千克黃豆可榨油13/5千克”,可知估算1千克黃豆榨不出1千克油,1千克油需要黃豆的重量遠遠多于1千克。估算可以确定所求結果的範圍,預防解題中出現嚴重偏差。②抓住商,确定被除數。确定被除數是此類題目解題技巧。問題中的商和被除數表示同一種物體的量。例如:平均每千克黃豆可榨油多少千克?商是“油”,那被除數應該也是“油”。即用13/5÷20求得每千克黃豆可榨油13/100千克。③抓住平均分,确定除數。确定除數也是技巧之一。可以從“平均分”入手,平均每千克油需要多少千克黃豆?是将油的千克數進行平均分,那除數就是“油”,即20÷13/5=100/13(千克)。
【練習】某品牌汽車加了30升92号汽油,共用了189.9元,行駛了500公裡。平均每升汽油多少元?每升汽油可以行多少公裡?每公裡耗油多少升?
【易錯題10】小明上山速度為1米/秒,下山速度為3米/秒,則小明上下山的平均速度是多少?
【問診】受平均數定義的影響,少數學生誤以為“平均速度=(上山的速度 下山的速度)÷2”,即 (1 3) =2(米/秒)。其實平均速度的定義為:總路程÷總時間。本題解法不唯一,由于全程未知,我們可以設上山全程為3米,則平均速度為:(3×2)÷(3÷1 3÷3)=1.5(米/秒)。
【練習】從山腳到山頂的路長36千米,一輛汽車上山,需要4小時到達山頂,下山沿原路返回,隻用了2小時到達山腳。求這輛汽車往返的平均速度。
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