微積分有多重要相信大家多多少少心裡都有點數，搞數學的不會微積分就跟中學生不會“加減乘除”一樣，基本上啥都幹不了。牛頓是物理學界的封神人物，然而牛頓還憑借着微積分的發明，跟阿基米德、高斯并稱為世界三大數學家，這是何等榮耀？這又從側面反映出微積分是何等地位？

除了重要，很多人對微積分的另一個印象就是難。在許多人眼裡，微積分就是高深數學的代名詞，就是高智商的代名詞，許多家長一聽說誰家孩子初中就學了微積分，立馬就感歎這是别人家的天才。其實不然，微積分并不難，它的基本思想甚至是非常簡單的，不然也不會有那麼多初中生學習微積分的事了。

我們從小學就學了各種求面積的公式，什麼長方形、三角形、圓、梯形等等，然後“求陰影部分的面積”就成了小時候的一塊心理陰影。

不知道大家當時有沒有想過一個問題：好像我們每學一種新圖形就有一個新的面積公式，可是，世界上有無數種圖形啊，難道我要記無數種公式麼？這太令人沮喪了！

更令人沮喪的是，還有很多圖形根本就沒有什麼面積公式。比如我随手在紙上畫一條曲線，這條曲線圍成的面積你要用什麼公式來算？但是，它确實圍成了一塊确定大小的區域啊，大小是确定的就應該能算出面積來，算不出來就是你的數學不行，對吧？于是，這個事就深深地刺痛了數學家們高傲的内心，然後就有很多人來琢磨這個事，比如阿基米德。

面對這個問題，古今中外的數學家的想法都是類似的，那就是：用我們熟悉的圖形（比如三角形、長方形等）去逼近曲線圍成圖形的面積。這就好比在鋪地闆磚的時候，我們會用盡可能多的瓷磚去填滿地闆，然後這些瓷磚的面積之和差不多就是地闆的面積。

阿基米德首先考慮抛物線：如何求抛物線和一條直線圍成的面積？抛物線，顧名思義，就是你往天上抛一塊石頭，這塊石頭在空中劃過的軌迹。如下圖的外層曲線：

這條抛物線和直線BC圍成了一個弓形（形狀像一把弓箭，塗了顔色的部分），這個弓形的面積要怎麼求呢？阿基米德的想法是用無數個三角形去逼近這個弓形，就好像我們用很多三角形的瓷磚去鋪滿這塊弓形的地闆一樣。

他先畫了一個藍色的大三角形ABC（這個三角形并不是随意畫的，抛物線在A點處的切線必須跟BC平行。這裡我們不細究，隻要知道能夠畫出這樣一個三角形就行）。當然，這個三角形ABC的面積肯定比弓形的面積小，小多少呢？顯而易見，小了左右兩邊兩個小弓形的面積。

如果我們能把這兩個小弓形的面積求出來，加上三角形ABC就可以求出原來大弓形的面積了。但是，如何求這兩個小弓形的面積呢？答案是：繼續用三角形去逼近！

于是，阿基米德又使用同樣的方法，在這兩個小弓形裡畫了兩個綠色的三角形。同樣的，在這兩個小弓形被兩個綠色三角形填充之後，我們又多出了四個弓形，然後我們又用四個黃色的三角形去填充剩餘的弓形……

很顯然，這個過程可以無限重複下去。我們可以用1個藍色，2個綠色的，4個黃色的，8個紅色的等無窮多個三角形來逼近這個弓形。我們也能很直觀地感覺到：我們使用的三角形越多，這些三角形的面積之和就越接近大弓形的面積。用三角形的面積之和來逼近這個弓形面積，這我沒意見，但關鍵是你要怎樣求這麼多三角形（甚至是無窮多個三角形）的面積呢？

這就是阿基米德厲害的地方，他發現：每次新畫的三角形的面積都是上一輪三角形面積的1/4。也就是說，2個綠色三角形的面積之和剛好是1個藍色三角形面積的1/4；4個黃色的三角形的面積之和剛好是2個綠色三角形的1/4，那麼就是1個藍色三角形面積的1/16，也就是（1/4）²……

如果我們把所有三角形的面積都折算成第一個藍色三角形ABC（用△ABC表示）的面積，那麼大弓形的面積S就可以這樣表示：

S=△ABC （1/4）△ABC （1/4）²△ABC （1/4）³△ABC……

這東西放在今天就是一個簡單的無窮級數求和問題，但阿基米德是古希臘人，那是秦始皇都還沒統一中國的年代，什麼高等數學更是不存在的，怎麼辦呢？

阿基米德計算了幾項，直覺告訴他這個結果在不斷地逼近（4/3）△ABC，也就是說你用的三角形越多，面積S就越接近（4/3）△ABC。于是阿基米德就猜測：如果我把無窮多個三角形的面積都加起來，這個結果應該剛好等于（4/3）△ABC。

當然，光猜測是不行的，數學需要的是嚴格的證明，然後阿基米德就給出了證明。他證明如果面積S大于（4/3）△ABC會出現矛盾，再證明如果它小于（4/3）△ABC也會出現矛盾，所以這個面積S就隻能等于（4/3）△ABC，證畢。

就這樣，阿基米德就嚴格地求出了抛物線和直線圍成的弓形的面積等于△ABC的4/3，他使用的這種方法被稱為“窮竭法”。

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