四　圓柱和圓錐

一、認識圓柱、圓柱的組成部分

1.圓柱的形成:圓柱是以長方形的一條邊為軸旋轉得到的;也可以由長方形卷起來得到。

2.生活中常見的圓柱:

3.圓柱各部分的名稱及其特征:

(1)圓柱的上、下兩個面都是圓形的,大小相同,叫做底面。

(2)圓柱周圍的面是曲面,我們叫它側面。

(3)圓柱兩底之間的距離叫做高,一個圓柱有無數條高,它們都相等。

二、圓柱的側面以及側面積的求法

1.圓柱的側面展開圖及其形狀:

(1)沿着高展開,展開圖是長方形,長方形的長等于圓柱的底面周長,長方形的寬等于圓柱的高;當底面周長和高相等時(h=2πr),側面展開圖為正方形。

(2)如果不沿着高展開,展開圖形是平行四邊形或不規則圖形。

(3)無論如何展開都得不到梯形。

2.圓柱的側面展開後各個部分與圓柱的關系:

展開後長方形的長等于圓柱的底面周長,寬等于圓柱的高。

3.圓柱的側面積=底面的周長×高,即S側=Ch=πd×h=2πr×h。

三、圓柱的表面積的計算

1.圓柱的側面積加上兩個底面的面積就是圓柱的表面積。

2.圓柱的表面積=2×底面積 側面積,即S表=S側 S底×2=2πr×h 2πr2。

3.圓柱的切割引起表面積的變化:

(1)橫切:切面是圓,表面積增加2個底面積,即S增=2πr2。

(2)豎切(過直徑):切面是長方形(如果h=2r,切面為正方形),該長方形的長是圓柱的高,寬是圓柱的底面直徑,表面積增加兩個長方形的面積,即S增=4rh。

四、圓柱表面積的計算在實際生活中的應用

在實際生活中,有時需要計算圓柱的表面積,如制作水桶時,不要上底面;制作圓柱形通風管時,不需要兩個底面,這時需要計算圓柱的側面積。

五、圓柱的體積以及計算公式的推導和應用

1.圓柱的體積:圓柱所占空間的大小,叫做這個圓柱的體積。

2. (1)圓柱切拼成近似的長方體,分的份數越多,拼成的圖形越接近長方體。

(2)長方體的底面積等于圓柱的底面積,長方體的高等于圓柱的高。因為長方體的體積=底面積×高,所以圓柱的體積=底面積×高,用字母表示為V柱=Sh=πr2h。

　　3.不規則物體體積的計算。

如計算左圖這樣的不規則圖形的體積時,一般将兩個完全一樣的圖形拼成一個圓柱,求出圓柱的體積後,再除以2。

4.計算空心圓柱的體積時,一般用底面圓環的面積乘高來計算。

六、容積的意義

容器的容積:容器所能容納物體的多少叫做容器的容積。

七、容積與體積的區别

1.意義不同:體積是指物體所占空間的大小。容積是指容器(杯子、盒子、油桶等)所能容納物體的大小(即内部體積)。

2.度量方法不同:計算體積時是從物體的外面去測量。例如:計算用玻璃做成的長方體魚缸的體積,就要從外面去分别測量出長方體魚缸的長、寬、高;如果要計算這個長方體魚缸的容積(或容量),就必須從魚缸的裡面去測量,因為做魚缸的玻璃是有一定厚度的。

3.計量單位不同:計算物體的體積,必須使用體積單位“立方米、立方分米、立方厘米”等。計算容積一般使用容積單位“升、毫升”;但計算較大物體的容積時,也拿體積單位“立方米”來通用,因為升和毫升隻限于計量液體,如桶裝的汽油、小瓶裝的藥水。

八、容積的計算、運用容積的計算解決問題

1.容積的計算:計算容器的容積時,要從裡面測量圓柱形容器的底面直徑和高。

2.計算容器的容積的方法一般采用計算體積的方法來計算。

　　3.不規則物體的體積或容積的計算:利用轉化思想,化不規則圖形為規則圖形。

九、圓錐的認識、圓錐體積的計算

1.圓錐的認識:

(1)底面:圓錐的底面是一個圓。

(2)側面:圓錐的側面是一個曲面,展開圖是扇形。

(3)高:從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫做圓錐的高,圓錐隻有一條高。

2.圓錐的體積:一個圓錐所占空間的大小,叫做這個圓錐的體積。

3.一個圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱的體積的。根據圓柱體積公式V=Sh(V=πr2h),得出圓錐體積公式:V=Sh。

4.圓柱與圓錐的關系:

(1)與圓柱等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

(2)體積和高都相等的圓錐與圓柱,圓錐的底面積是圓柱的3倍。

5.計算組合圖形的體積時,一般先分别求出基本圖形的體積,再相加求和。

十、運用圓柱、圓錐的體積計算解決簡單的實際問題

1.運用圓錐的體積解決簡單的實際問題時要注意單位的統一。

2.解答有關等積變形問題時,一般利用數學的轉化思想,抓住體積不變,形狀改變來計算。

十一、木材加工問題

1.求圓木的體積可以根據“圓柱的體積=底面積×高”來計算。

2.橫截面是正方形的木材叫做方木,方木的體積=2r2h。

巧記

小圓柱直挺挺,上、下底面都相同,可以看作是由長方形旋轉而成的,還可以看作是由平面卷曲而成的。

易錯點:1.圓柱的側面是曲面,高有無數條,不是1條。

2.高指圓柱兩底面之間的距離。

易錯點:1.如果底面周長和高相等,展開圖為正方形。

2.底面直徑和高相等,側面展開圖不是正方形。

巧記規律

沿高剪,圓柱側面展開是長方形,側面積是底面周長和高的積。

易混點:1.計算圓柱的表面積時,不要忘記底面積乘2後再加側面積。

2.無論是縱切圓柱還是橫切圓柱,切一刀會增加2個切面。

易錯點:解答制作圓柱類問題時,都要用進一法保留最後結果。

易混點:1.圓柱的體積=底面積×高

2.圓柱的側面積=底面周長×高

方法巧記

1.圓柱的高(h)=V柱÷S=V柱÷(πr2)

2.圓柱的底面積(S)=V柱÷h

巧記

容積體積本不同,容積度量内部量,體積度量外部量;容積單位:升、毫升或立方米,體積單位:立方米、立方分米、立方厘米。

易混點:求不規則圖形的體積時,可以利用“轉化”思想将不規則圖形轉化為規則圖形,也就是數學中常說的“等積變形”。

易錯點:圓錐隻有1條高。

易錯點:圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的。

易錯點:體積和底面積都相等的圓錐與圓柱,圓錐的高是圓柱的高的3倍。

易混點:“等積變形”就是說形狀不同,但是體積相等。

易混點:圓木的底面積是πr2,方木的底面積是2r2。