我們知道，計算機内的數據表示隻是一個有限字長的二進制序列，表達的十進制整數非常有限：

= 15 (十進制是個2位數，二進制是4位1)

= 255 (十進制是個3位數，二進制是8位1)

= 65535 (十進制是個5位數，二進制是32位1)

= 4294967295 (十進制是個10位數，二進制是32位1)

18446744073709551615 (十進制是個20位數，二進制是64位1)

可以看出，通常一位十進制數需要3.2位二進制數來表示。

相對于整型，數組或字符串可以表示更多的十進制位數，計算時做轉換即可。或者鍊式存儲數據塊（如一個數據塊存儲4位數）。

對于浮點數，可以表示更大的數字，但精度有限。

浮點數的位數分為三部分：符号位、階碼、尾碼；階碼決定值域，尾碼決定精度。

float： 1bit（符号位） 8bits（指數位） 23bits（尾數位）

double： 1bit（符号位） 11bits（指數位） 52bits（尾數位）

于是，float的指數範圍為-127~ 128，而double的指數範圍為-1023~ 1024，并且指數位是按補碼的形式來劃分的。

其中負指數決定了浮點數所能表達的絕對值最小的非零數；而正指數決定了浮點數所能表達的絕對值最大的數，也即決定了浮點數的取值範圍。

float和double的精度是由尾數的位數來決定的。浮點數在内存中是按科學計數法來存儲的，其整數部分始終是一個隐含着的“1”，由于它是不變的，故不能對精度造成影響。

float：2^23 = 8388608，一共七位，這意味着最多能有7位有效數字，但絕對能保證的為6位，也即float的精度為6~7位有效數字；

double：2^52 = 4503599627370496，一共16位，同理，double的精度為15~16位。（52/3.2≈16）

首先采用一個帶有表頭結點的環形鍊來表示一個非負的超大整數，如果從低位開始為每個數字編号，則第1~4 位、第5~8 位……的每4 位組成的數字，依次放在鍊表的第1 個、第2 個……第n 結點中，不足4 位的最高位存放在鍊表的最後一個結點中，表頭結點的值規定為-1。例如：大整數“587890987654321”可用如下的帶表頭結點head 的鍊表表示。

按照此數據結構，可以從兩個表頭結點開始，順序依次對應相加，求出所需要的進位後，代入下一個結點的運算。

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define HUNTHOU 10000 typedef struct node{ int data; struct node *next; }NODE; /*定義鍊表結構*/ NODE *insert_after(NODE *u,int num); /*在u結點後插入一個新的NODE，其值為num*/ NODE *addint(NODE *p,NODE *q); /*完成加法操作返回指向*p *q結果的指針*/ void printint(NODE *s); NODE *inputint(void); void main() { NODE *s1,*s2,*s; NODE *inputint(), *addint(), *insert_after(); puts("*********************************************************"); puts("* This program is to calculate *"); puts("* the addition of king sized positive integer. *"); puts("*********************************************************"); printf(" >> Input S1= "); s1=inputint(); /*輸入被加數*/ printf(" >> Input S2= "); s2=inputint(); /*輸入加數*/ printf(" >> The addition result is as follows.\n\n"); printf(" S1= "); printint(s1); putchar('\n'); /*顯示被加數*/ printf(" S2= "); printint(s2); putchar('\n'); /*顯示加數*/ s=addint(s1,s2); /*求和*/ printf(" S1 S2="); printint(s); putchar('\n'); /*輸出結果*/ printf("\n\n Press any key to quit..."); getch(); } NODE *insert_after(NODE *u,int num) { NODE *v; v=(NODE *)malloc(sizeof(NODE)); /*申請一個NODE*/ v->data=num; /*賦值*/ u->next=v; /*在u結點後插入一個NODE*/ return v; } NODE *addint(NODE *p,NODE *q) /*完成加法操作返回指向*p *q結果的指針*/ { NODE *pp,*qq,*r,*s,*t; int total; // 兩數相加的和 int remain; // total000的結果 int carry; // total/10000的結果 pp=p->next; qq=q->next; s=(NODE *)malloc(sizeof(NODE)); /*建立存放和的鍊表表頭*/ s->data=-1; t=s; carry=0; /*carry:進位*/ while(pp->data!=-1&&qq->data!=-1) /*均不是表頭*/ { total=pp->data qq->data carry; /*對應位與前次的進位求和*/ remain=total%HUNTHOU; /*求出存入鍊中部分的數值 */ carry=total/HUNTHOU; /*算出進位*/ t=insert_after(t,remain); /*将部分和存入s向的鍊中*/ pp=pp->next; /*分别取後面的加數*/ qq=qq->next; } r=(pp->data!=-1)?pp:qq; /*取尚未自理完畢的鍊指針*/ while(r->data!=-1) /*處理加數中較大的數*/ { total=r->data carry; /*與進位相加*/ remain=total%HUNTHOU; /*求出存入鍊中部分的數值*/ carry=total/HUNTHOU; /*算出進位*/ t=insert_after(t,remain); /*将部分和存入s指向的鍊中*/ r=r->next; /*取後面的值*/ } if(carry) t=insert_after(t,1); /*處理最後一次進位*/ t->next=s; /*完成和的鍊表*/ return s; /*返回指向和的結構指針*/ } NODE *inputint(void) /*輸入超長正整數*/ { NODE *s,*ps,*qs; struct remain { int num; struct remain *np; }*p,*q; int i,j,k; long sum; char c; p=NULL; /*指向輸入的整數，鍊道為整數的最低的個位，鍊尾為整數的最高位*/ while((c=getchar())!='\n') /*輸入整數，按字符接收數字*/ if(c>='0'&&c<='9') /*若為數字則存入*/ { q=(struct remain *)malloc(sizeof(struct remain)); /*申請空間*/ q->num=c-'0'; /*存入一位整數*/ q->np=p; /*建立指針*/ p=q; } s=(NODE *)malloc(sizeof(NODE)); s->data=-1; /*建立表求超長正整數的鍊頭*/ ps=s; while(p!=NULL) /*将接收的臨時數據鍊中的數據轉換為所要求的标準形式*/ { sum=0;i=0;k=1; while(i<4&&p!=NULL) /*取出低四位*/ { sum=sum k*(p->num); i ; p=p->np; k=k*10; } qs=(NODE *)malloc(sizeof(NODE));/*申請空間*/ qs->data=sum; /*賦值，建立鍊表*/ ps->next=qs; ps=qs; } ps->next=s; return s; } void printint(NODE *s) { if(s->next->data!=-1) /*若不是表頭，則輸出*/ { printint(s->next); /*遞歸輸出*/ if(s->next->next->data==-1) printf("%d",s->next->data); else{ int i,k=HUNTHOU; for(i=1;i<=4;i ,k/=10) putchar('0' s->next->data%(k)/(k/10)); } } } /* ********************************************************* * This program is to calculate * * the addition of king sized positive integer. * ********************************************************* >> Input S1= 1234567890 >> Input S2= 987654321123456789 >> The addition result is as follows. S1= 1234567890 S2= 987654321123456789 S1 S2=987654322358024679 Press any key to quit... */

當位數超過整數數據類型的兩個大數相乘時，大數可以使用字符串存儲，模拟手工做乘法的過程（不同的是，先從高位開始），将每一位相乘的結果先不做進位，累加到一個數組對應下标的元素中，最後做進位處理。

以下是模拟過程：

使用雙重循環得出TempResult[1]＝10，TempResult[2]＝32，TempResult[3]＝24

數組逐元素逆序疊代處理進位和求餘：

for (i = alen blen; i >=0; i--) // 處理進位、各數求10的模數， //TempResult[alen blen]是結果的最低位，逆序處理 { if (TempResult[i] >= 10) { TempResult[i - 1] = TempResult[i] / 10; // i-1位是i位的高位 TempResult[i] %= 10; } }

然後将整數數組逐項賦值給字符數組即可。

code:

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> // 因為大數過長，所以采用字符串存儲， 故要将字符串中字符轉化為數字 char *BigDataMutliply(char *DataA, char *DataB) { int alen = strlen(DataA); int blen = strlen(DataB); size_t size = sizeof(int)*(alen blen); int *TempResult = (int *)malloc(size); // 動态數組存儲兩數各個位相乘的結果 char *Result = (char *)malloc(sizeof(char)*(alen blen 1)); memset(TempResult, 0, size); for (int i=0 ; i<alen; i ) // 從高位開始，疊代出各個位的值存儲到數組對應的位 { for (int j=0; j<blen; j ) TempResult[i j 1] = (DataA[i] - '0')*(DataB[j] - '0');// 最高位留出一位，待進位 } for (i = alen blen; i >=0; i--) // 處理進位、各數求10的模數 { if (TempResult[i] >= 10) { TempResult[i - 1] = TempResult[i] / 10; TempResult[i] %= 10; } } i=0; while (TempResult[i] == 0) // 計算數組不包括前導0的位數 i ; int j; for(j=0; i < alen blen 1; j , i )// 将整數數組轉換到字符數組 { Result[j] = TempResult[i] '0'; } Result[j-1] = '\0'; // 最後位置\0 return Result; } int main() { char *A = "111111111"; char *B = "111111111"; char *res = BigDataMutliply(A, B); printf("res = %s\n",res); // 12345678987654321 system("pause"); return 0; }

對于一個較小的數的階乘，較容易通過循環和遞歸去實現。

對于一個較大的數的階乘，其結果因為位數較多，基本數據類型無法存儲。可以考慮用一個數組a來保存結果的每一位。如計算7的階乘，模拟過程如下：

如8!=8*7!=8*5040

a[0] =8*0 = 0

a[1] = 8*a[1] a[0]/10 = 32

a[0] %= 10 = 0

a[2] = 8*a[2] a[1]/10 = 3

a[1] %= 10 = 2

a[3] = 8*a[3] a[2]/10 = 40

a[2] %/10 = 3

a[4] = 8*a[4] a[3]/10 = 4

a[3] %= 10 = 0

a[4] = 4

// 40320

以a[0]為基準，a[i] = n*a[i] a[i-1]/10，a[i-1] = a[i-1]逐次疊代。

直接看代碼和注釋：

#include <iostream> using namespace std; #define N 10000 long facLoop(int n) // 循環實現小整數的階乘 { long sum=1; for(int i=2; i<=n; i ) sum*=i; return sum; } long facRecur(int n) // 遞歸實現小整數的階乘 { if(n==0) return 1; else return n*facRecur(n-1); } void facBig(int m) { /* 大整數階乘，使用數組來存儲每一位： 1 初始值a[0]=1； 2 i=1,2,…,m循環； 3 j從1開始循環。逐位乘i并加上前一位的進位，并将前一位隻保留個位數； */ int a[N]={1}; // a[0]=1，其餘各位全為0 for(int i=2; i<=m; i ) // 階乘數的循環，如32的階乘，會連續乘32次 { a[0] *= i; // 個位做為基準位 for(int j=1; j<N; j ) // 整數數組從低位(第2位)開始循環如6!=6*5!=6*120 { a[j] = a[j]*i a[j-1]/10; // 逐位乘i并加上前一位的進位 a[j-1] %=10; // 前一位隻保留個位數 } } int n = N-1; while(a[n]==0) n--; // 從最高位找到第一個非零數 cout<<m<<"!有"<<n 1<<"位,"<<"=\n"; for(;n>=0; n--) cout<<a[n]; cout<<""<<endl; } int main() { int m; // 需要計算階乘的數 cout<<"請輸入需要計算階乘的數："; cin>>m; cout<<facLoop(m)<<endl; cout<<facRecur(m)<<endl; facBig(m); getchar();getchar(); return 0; } /* 請輸入需要計算階乘的數：12 479001600 479001600 12!有9位,= 479001600 請輸入需要計算階乘的數：22 -522715136 -522715136 22!有22位,= 1124000727777607680000 */

請輸入需要計算階乘的數：555 0 0 555!有1284位,= 66140856092779467090983316712427699021235319456107896663061009150806651839846293 87085701659314538187743468066779374876229412967164099011221807911833816151991801 33649323135568584492485536333258769584469786383591661922104266566863913614070698 13888154553080852234615605505311576226261267947625648132268820356717111103825491 62857689488683906833874275617940623468544916896330732153487737103632180161575111 81863057926134577070731221701301152592821760868454925199903505386017787199554004 69530073671454816298664788601977137914407564217261944935588590631149093156201859 98321730061506989100813577111773696863103629393244250245849993115399046437308001 89147272918915911770251276375152459026027462464002063813902395684537655374791000 27069982319137060763165525786963451550659008901397431426938167831988871389240730 59060536938650791542851017477232993820261825123659145274388477831568316746298697 33219475045947728356608604070725171727115599864469722301348700056888092787342824 68911323601467977092970083491347570972680751172611060765887478571182355289677008 88379534633760485028152799559579229246893025384153371622056374710987652817622316 17571867644711936978426265600000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000

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