引子

「貝爾不等式」（Bell's Inequality）及其推論「貝爾定理」（Bell's Theorem）為量子力學發展史上的一樁公案提供了一個可實驗測量的判決條件。貝爾不等式的确立，将量子理論推到了世所公認的「局域性原理」的邏輯反面。通俗地講，「局域性原理」（Principle of Local Causality）指的是：任何事件A隻能對光速可達的時空範圍内的其他事件B産生影響。貝爾定理的基本結論是：量子力學和局域性原理二者是你死我活的關系，隻能保一頭。

貝爾不等式在1964年發表之後的六十年間，在科學思想領域掀起滔天巨浪，讓科學家開始重新審視「物理現實」、「局域作用」等一些基本常識性概念的精确定義。這段佳話還要從上世紀三十年代以愛因斯坦為首的三位物理學家（Einstein，Podolsky，Rosen）提出的一段公案說起。

「EPR論證」和「EPR佯謬」

衆所周知，愛因斯坦一直對量子力學持有保留态度。上世紀量子力學發展初期絕對可以稱為是「神仙打架」的年代。面對量子理論對微觀世界日益強大的解釋和預測能力，想證明它是「僞科學」想必是難于登天。EPR三人在經過一番合謀之後，于1935年發表重磅文章，試圖證明量子力學「雖然正确，但不完備」。

文章提出了一個被後世稱為「EPR佯謬」的思想實驗，如下（本文描述是後來經過玻姆改造過的等價版本）：

假定某個源頭可以不斷産生處于「自旋單重态」（Spin Singlet）的正負電子對，即，每個電子對系統處于疊加狀态

其中正、負電子各自向相反方向飛離。令張三伴随正電子（A）以相同速度飛行，令李四伴随負電子（B）以相同速度飛行。張三和李四在正負電子飛離足夠遠之後，自由選擇一個時刻對其伴飛粒子進行z方向自旋的測量。

按照量子力學的觀點，測量使得該雙粒子系統的自旋狀态 |Ψ⟩坍縮至兩個本征态——|z ⟩⊗|z-⟩或|z-⟩⊗|z ⟩——之一。無論坍縮至哪一個本征态，二人測量的結果都必将是相反的，即，若張三測量結果為 1/2，則李四測量結果必為-1/2；反之亦然，若張三測量結果為-1/2，則李四必為 1/2。

上面說的「足夠遠」是指二人測量的時間間隔不足以使光在二者之間傳播。那麼問題就來了。是什麼機制能夠同時保證以下兩條：

1. 測量呈現兩種随機結果：（張三 1/2，李四-1/2），或者（張三-1/2，李四 1/2），但保證是符号相反的；
2. 兩端測量無法互相影響（局域性）。

回答這個問題之前，請先參考以下場景：兩名犯罪嫌疑人被隔離審問，每個人都按同一順序被問到同一系列Yes/No問題。你發現每一道問題他們倆的答案都相反且貌似随機。這時你能得出什麼結論？

結論就是他們在被隔離之前就都已經掌握了既定的回答規則（比如，基于事實張三永遠說真話李四永遠說假話；或基于事實，單号問題張三說真話、李四說假話，雙号問題反之，等等），必然是每個問題的回答都是按照既定好的規則進行，而非臨場随機胡說。

同理，EPR基于上述兩點得到了一個符合基本概率原理的推論，即對于任意給定的電子對，它們z自旋的測量結果都是在測量動作之前就既定好的了，隻有這樣才能在沒有互相影響的情況下保證兩端的測量結果呈随機性卻永遠符号相反。任何的随機性，都不可能在二者超出作用範圍之後産生，否則無法保證測量結果「嚴格反相關」（Perfect Anti-correlation）。

當兩個粒子飛離的那一瞬間，源頭就在這對粒子身上内嵌了同一段“DNA”，這段DNA會保證A粒子被測量z自旋時确定性地呈現 1/2，同時保證B粒子被測量z自旋時确定性地呈現-1/2。上面提到的測量的随機性其實是由于源頭對于不同的正負電子對内嵌了不同的DNA所導緻。即，源頭有兩種DNA，按照某一個概率分布在産生電子對的時候随機内嵌到它們身上，此後在測量時才導緻結果呈現随機性。

我們把這個論證過程稱為「EPR論證」，它是從「兩個假設」得到「一個結論」的邏輯論述。其中「兩個假設」是

1. 局域性原理
2. 測量結果嚴格反相關

「一個結論」是：

兩個分離的系統各自攜帶「确定性隐變量」（Deterministic Hidden Variable），也即我們上面說的DNA。

在此值得強調的是，雖然愛因斯坦在與量子力學硬杠的過程中最終敗下陣來，但上面的「EPR論證」卻是完全有效的，即從「兩個假設」推出「一個結論」的論證邏輯沒有問題。正因為這個論證邏輯有效，當多年之後貝爾不等式及其指導下的實驗否定了「确定性隐變量理論」的時候，我們才能對EPR論證的前提假設、一直被奉為真理的「局域性原理」提出質疑。

EPR文章中與貝爾不等式相關的内容其實就是這些，但既然氣氛已經烘托到這裡了，就讓我繼續多說幾句。

這為什麼是一個「佯謬」呢？

原因是，既然張三和李四能對z方向進行自旋測量，他們也能選擇對x方向進行自旋測量。簡單的量子力學計算表明，上述「自旋單重态|Ψ⟩」同樣可以在x基底下等價表示為

所以之前對「z自旋DNA存在」的論證同樣适用于x自旋。事實上，由于空間對稱性，該結論适用于任意方向的自旋。由此，EPR認為任意方向的自旋都是一個由隐變量确定的「物理現實」，而量子理論中，x自旋和z自旋是不相容的算符，不能同時具有确定值，因此量子力學不是完備的（完備的理論應該能對物理現實進行計算和預測）。

後面的這段論述其實還包括很多關于「物理現實」、「完備理論」的定義，本文并不讨論這些，為了理解下面的貝爾不等式和貝爾定理，我們隻需要上面從「兩個假設」到「一個結論」的邏輯論證。

貝爾不等式

之所以說EPR佯謬是一段公案，因為這裡EPR提出了一個原則上可能存在的、比量子力學更完備的物理理論，即「确定性隐變量理論」。因為它的「隐」，所以我們還暫時沒有發現，但你不能說它沒有。

這就有點棘手了、甚至有點流氓了。EPR說「可能有，但現在還沒找到」，他們沒有舉證責任，因為對于「可能性」的論證沒有毛病。世界上最難的就是證明某個東西不存在。但數學家其實經常做這個事，比如他們證明了五次方程沒有通用求根公式，尺規作圖無法三等分角等等。證明過程的通用技巧是反證法——假設你說的東西存在，通過邏輯推導出它必定具有某種屬性，然後再論證這種屬性不成立。

「貝爾不等式」就是從「确定性隐變量理論」推導出的一個屬性。而這個屬性會被量子力學違反。這就相當于貝爾給這段公案指明了一個判決條件——所有的确定性隐變量理論都應遵守貝爾不等式，但在某些條件下，量子力學的預言卻違反該不等式。結果怎麼樣，隻需将「某些條件」在實驗中複現，看看貝爾不等式到底是不是被違反了，如果違反了，就證明我們的大自然并非按照确定性隐變量理論運行。

下面我們來陳述并證明貝爾不等式。

我們将某一假定存在的、确定性隐變量理論應用于上面的電子對實驗：當每有一對正負電子從源頭分離時，都按某種分布随機内嵌一段DNA來預定這兩個粒子之後在任何方向上自旋測量的結果，且保證同一方向的測量結果嚴格反相關。現在考慮任意三個方向{a,b,c}。易知共有8種DNA可以滿足「嚴格反相關」的條件（粒子A有2^ 3=8種選擇，B必須與之相反）。每一種DNA的預定測量結果及其在源頭的分布比例如下表所列。

實驗分三組進行。每組重複足夠多次（具有統計意義）。第一組被稱為(b,c)組：每次在飛離足夠遠後，張三在b方向、李四在c方向測量各自粒子自旋。内嵌在粒子中的DNA按計劃呈現确定性測量結果。如結果符号相同，記 1分，相反，-1分。令C(b,c)為該組實驗分數的期望值。

類似重複第二組(a,c)，第三組(a,b)，以及定義相應的分數期望值C(a,c)、C(a,b)。

舉世聞名的貝爾不等式即為

證明：

考慮(b,c)組實驗，在所有DNA樣本中，滿足「A粒子的b-自旋」與「B粒子的c-自旋」符号相同的概率為N2 N3 N6 N7，符号相反的概率為N1 N4 N5 N8，故

同理

注意到

将上述各式帶入貝爾不等式，則命題等價于

後者則由諸Ni非負顯而易見，證畢。

貝爾不等式是「确定性隐變量理論」的必要條件，任何确定性隐變量理論必須遵守貝爾不等式。邏輯關系見下圖。

量子力學違反貝爾不等式

下面我們将會找到一組方向{a,b,c}，使得量子理論所預測的結果違反貝爾不等式。

令,夾角為θ，由量子力學中二維旋量空間的旋轉變換可知，若對方向上的本征态| ⟩進行方向自旋測量，得到| ⟩的概率為

由此得知在(b,c)組的實驗中，二人測量結果符号相同/相反的概率分别為

從而

同理可得C(a,c)、C(a,b)。這時貝爾不等式等價于

但這顯然并非恒成立的不等式，下圖所示在同一平面内的{a,b,c}便違反了貝爾不等式的要求（左側等于|1/2 1/2|=1，右側等于1-1/2=1/2）。

貝爾定理

從量子力學違反貝爾不等式的結果可以得到一個邏輯推論，這就是貝爾定理：

不存在任何一個遵守局域性原理的理論可以涵蓋量子力學的所有預測。

證明它其實很容易，隻需要把之前的結論作為一整套邏輯鍊條串起來：

1. EPR論證：從兩個假設——A局域性原理、B嚴格反相關——推出一個結論「存在确定性隐變量」；
2. 貝爾不等式：所有确定性隐變量理論都需遵守貝爾不等式；
3. 在某些條件下量子力學違反貝爾不等式；
4. 「嚴格反相關」條件本身就是量子力學得出的結論（基于角動量守恒）。

非确定性隐變量和CHSH不等式

貝爾不等式的假設是EPR論證裡的「确定性隐變量」，這裡的确定性是指所有的随機因素已經在正負電子分離那一刻得到固化，在分離之後不再具有随機性。回顧EPR論證裡的推導，「确定性隐變量」存在的前提是「嚴格反相關」。在原版貝爾不等式提出之後，貝爾和其他物理學家構造出了一個能放松「嚴格反相關」限制的改版貝爾不等式——CHSH（Clauser, Horne, Shimony, Holt）不等式。由于嚴格反相關限制被取消，實驗中的随機性被允許一直延續到測量的那一刻（如果兩位嫌疑人回答問題不必處處相反，他們完全可以在最後一刻再臨場發揮）。

在CHSH場景下，仍然要求「局域性原理」被遵守。而CHSH的重要貢獻是對「局域性」給出明确的數學定義，再據此為假設推導出最終的CHSH不等式。

在上文的實驗條件下，正負電子飛離足夠遠之後，我們允許它們一直到被測量的時候還保有随機性。該随機性隻依賴于内嵌在他們身上的DNA（隐變量）（注意原版貝爾不等式的條件要求DNA一旦嵌入，自旋測量的結果就是确定值）。但是如果測量時，兩個粒子已經分開足夠遠，「局域性」的意義則在于要求兩處的測量結果具有獨立的概率分布。

具體來講，令λ代表隐變量（DNA），在給定λ條件下，局域性要求測量結果的聯合概率可以分解為兩端獨立獲得各自測量結果概率之積：

這裡 1,2為測量自旋的方向，A1,A2是可能出現的自旋測量結果，在{-1, 1}中取值。「獨立分布」代表彼此不會互相影響。而λ本身在源頭則可以按照某一個不依賴于1,2的概率分布P(λ)（類比之前8種DNA的分布比例）。

這一條件可以被解讀為，當DNA被嵌入時，雖然兩端測量自旋的結果尚未确定（這一點和确定性隐變量不同），但由于局域性要求雙方在最終呈現随機測量結果的時候互不幹擾，這裡體現為該概率分布在兩端相對獨立。

沿襲原版貝爾不等式的做法，在給定的1,2實驗中，定義相關性「分數」的期望值為 ：

類比之前的C(b,c)，我們把8種DNA的加權和變成遍曆λ概率測度空間的積分，把之前的确定性「相關分數」也變成了λ條件下的期望分數。

CHSH不等式斷言：對任意給定的四個方向{a,b,c,d}，

其證明隻需要用到局域性所要求的概率獨立條件。

證明：

證畢

根據量子力學的計算，CHSH不等式在下圖所示的{a,b,c,d}方向上被違反（不等式左邊為2√2）

大自然的判決

在貝爾不等式和CHSH不等式提出後，人們尚且不知道最終勝利會花落誰家。大自然真的像量子理論所預言的那樣在某些條件下會違反貝爾不等式嗎？此後的幾十年間，物理學家設計、實施了一系列實驗，最終公認在2015年的一次實驗中排除了所有可能的「局域漏洞」（Locality Loophole）和「檢測漏洞」（Detection Loophole），證實了我們的大自然的确會如量子理論預言的那樣違反貝爾不等式。人類的理性不得不摒棄之前奉為圭臬的「局域性原理」。但放棄「局域性原理」未必說明相對論不成立，「形而上」層面的争論（Empirical Relativistic v.s. Fundamental Relativistic）還在繼續，這裡我們就不讨論了。

EPR佯謬中提到的處于單重态的雙粒子在後世被稱為「量子糾纏」（Quantum Entanglement），是量子計算機和量子信息論的基本要素。很多精妙的量子算法都是利用了糾纏态粒子的「超距」作用實現其功能。雖然愛因斯坦以「恐怖的超距作用」（Spooky action at a distance）為由拒絕給量子力學應有的名分，但也許正是這恐怖的、違背直覺的超距作用，讓宇宙之間無論遠近的萬事萬物都連接在了一起，為我們的理性生命賦予了宇宙規模超大尺度的深邃含義。

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