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線性代數怎麼樣由二次型求規範

科技 更新时间:2025-01-23 13:44:53

線性代數中的二次型,實際上是特征值的幾何應用,概念仍需加強理解

二次型:實際上是特征值的幾何應用

1、二次型化标準形:特征值、特征向量、相似對角化

2、二次型的正定性

3、合同:坐标變換

正交變換化二次型為标準形,标準為求二次型矩陣 A 的特征值,求坐标變換就是求 A 的特征向量

接下來我們來看道例題,首先是第一小題

線性代數怎麼樣由二次型求規範(線性代數中的二次型)1

圖一

首先,我們肯定是要讀題,通過題目來了解一些明顯的信息

線性代數怎麼樣由二次型求規範(線性代數中的二次型)2

圖二

這個是之前談到過的概念了,二次型的方程可以直接得到二次型矩陣

化簡方法為:xixj系數的一半位于矩陣的ij位置(i為第i行,j為第j列)

因為二次型的矩陣一定是實對稱矩陣,所以也要将xixj系數的一半位于矩陣的ji位置(j為第j行,i為第i列),然後對角線的話也是按照這個規則來,那很明顯,對角線就是11,22,33

因為秩為 2,所以可以得到 r(A)=2,再得到行列式為 0,因為根據已有條件可知道,當 n 階行列式的秩小于 n 時,行列式的值為 0

所以得到 a=0

再來看第二小題

通過正交變換x=Qy,将f(x1,x2,x3)化為标準形

由第一小題a=0可以知道(将a代入到式子中去來求矩陣A的特征值)

這裡過程不詳細叙述了,行列式λE-A等于0,來求矩陣A的特征值

我直接計算出特征值為2和0

線性代數怎麼樣由二次型求規範(線性代數中的二次型)3

圖三

由于特征向量已經兩兩正交,那麼我們隻需要單位化即可

線性代數怎麼樣由二次型求規範(線性代數中的二次型)4

圖四

那麼,經過正交變化x=Qy就可以得到

線性代數怎麼樣由二次型求規範(線性代數中的二次型)5

圖五

由于f(x1,x2,x3)=0,那麼我們就可以得到

線性代數怎麼樣由二次型求規範(線性代數中的二次型)6

圖六

注意點:1、n 階矩陣 A 的秩小于 n 時,那麼 A 的行列式就等于 0,而行列式等于所有特征值的 乘積,所以至少有一個特征值為 0

2、如果 n 階矩陣 A 的秩小于 n 時,可以得到該矩陣不可逆,因為可逆矩陣的充要條件是行列式 的值不為 0

3、正交變換:可以化二次型為标準型,就如我們前面用到的

完整過程步驟

線性代數怎麼樣由二次型求規範(線性代數中的二次型)7

圖七

總結

總的來說,線性代數需要記憶的概念還是比較多的,二次型化為标準形的時候,主要要借助到一些概念,例如矩陣的秩、特征值和特征向量等等,我對這塊掌握還不夠完善,仍需努力,加強理解!

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