函數的零點定理不僅在初等函數中應用廣泛，在導數中更占有重要位置。導數中的“隐點零”題型中，也要用到零點定理。下面先将函數零點定理的解題模型及應用技巧歸納如下。

1.零點存在性定理

2.判斷函數的零點(方程的根)所在的區間的方法

a.解方程法：當對應方程易解時，可通過解方程确定方程是否有根落在給定區間上.

b.利用函數的零點存在性定理：利用定理進行判斷.

c.數形結合法：畫出相應的函數圖象，通過觀察圖像與x軸在給定區間上是否有交點來判斷，或者轉化為兩個函數圖象在給定區間上是否有交點來判斷.

3.判斷函數零點個數的方法

a.直接法：令f(x)=0,如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.

b.利用函數的零點存在性定理：利用函數的零點存在性定理時，不僅要求函數的圖象在區間[a,b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0,還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能确定函數有多少個零點.

c.圖象法：畫出函數f(x)的圖象，函數f(x)的圖象與x軸交點的個數就是函數f(x)的零點個數；将函數f(x)拆成兩個函數h(x)和g(x)的差，根據f(x)=0⇔h(x)=g(x),則函數f(x)的零點個數就是函數y=h(x)和y=g(x)的圖象的交點個數.

d.利用函數性質：若能确定函數的單調性，則其零點個數不難得到；若所考查的函數是周期函數，則隻需求出在一個周期内的零點個數，根據周期性則可得函數的零點個數.

經典例題：

思路分析:可以直接建立方程求解零點，也可以畫出函數圖像确定零點個數.​

解析:

（直接法）由f（x）=0得

解得x=-2或x=e。

因此函數f（x）共有2個零點。

（圖像法）函數f（x）的圖像如下圖所示，

由圖象知函數f（x）共有2個零點。

答案：B

總結：f(a)·f(b)<0與函數f(x)存在零點的關系

1.不滿足f(a)·f(b)<0的函數也可能有零點(如圖).

2.由函數y=f(x)在閉區間[a,b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0,如圖.所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在閉區間[a,b]上有零點的充分不必要條件.

經典例題：

若a<b<c,則函數f(x)=(x-a)(x-b) (x-b)(x-c) (x-c)(x-a)的兩個零點分别位于區間

A.(a,b)和(b,c)内

B.(-∞,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c, ∞)内

D.(-∞,a)和(c, ∞)内

解析:令y1=(x-a)(x-b) (x-b)(x-c)=(x-b)[2x-(a c)],y2=-(x-c)(x-a),由a<b<c作出函數y1,y2的圖象(圖略),由圖可知兩函數圖象的兩個交點分别位于區間(a,b)和(b,c)内,即函數f(x)的兩個零點分别位于區間(a,b)和(b,c)内.故選A.

答案:A

總結：​函數的零點存在性定理隻能判斷函數在某個區間上的變号零點,不能判斷不變号零點,而且連續函數在一個區間的端點處函數值異号是這個函數在這個區間上存在零點的充分條件,不是必要條件,所以在判斷一個函數在某個區間上是否存在零點時,不能完全依賴函數的零點存在性定理,要綜合函數性質進行分析判斷.

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