本文作者：神永正博

初識積分的樂趣

現實世界中存在的物質，并非都是學校中學習的那些規則的形狀。相反，那些規則的形狀可以說隻是例外或理想化的情況。所以，對人類而言，測量現實情況中各種複雜圖形大小的技術非常必要。

日本小學的家政課會講授烏冬面、土豆塊2等簡易料理的烹饪方法。如果掌握了這些基礎烹饪方法的話，就能夠烹制出更多複雜的菜品。例如，烏冬面的烹饪方法可以運用到面包、比薩或者意大利面中，從土豆塊中學到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸餅中。

如果把在小學初中學的長方形、圓形的知識比作烏冬面、土豆塊，那麼微積分就相當于面包、土豆沙拉等應用性料理。多虧有了積分法，人類才能夠計算各種圖形的面積和體積。使用積分，無論是多麼奇怪的形狀，隻要下功夫就能夠計算出結果，這真是巨大的進步。

将思考應用于實際，用自己的力量去推導面積、體積，這才是積分的樂趣，也是學習積分的真正意義。

所有圖形都與長方形相通

積分的要領①：

以長方形為基礎來思考。

圖形的種類紛繁多樣，其中面積計算最為簡單的就是“長方形”了。

說到這裡，大家是不是想起了小學時初學面積計算的情景？在圖形面積計算中，三角形、平行四邊形、梯形、圓形等圖形都是放到長方形之後學習。長方形的面積僅用“長×寬”就可以計算，可以說是最簡單、樸素的圖形。順便提一下，在數學世界中，正方形被看作是“一種特殊的長方形”。

掌握長方形面積的計算方法後，就可以将其應用到三角形的面積計算中。反過來說，如果不知道長方形面積的計算方法，也就無法計算三角形的面積。

這是因為，三角形的面積可以看作是“以三角形的一條底邊為邊長、該邊上的高為另一邊的長方形面積的一半”。根據圖2可知，三角形的面積正好是對應長方形面積的一半，也就是說“三角形的面積=底×高÷2”。

那平行四邊形是什麼情況呢？平行四邊形可以看作是兩個以平行四邊形的邊為底邊的三角形的組合。

梯形的情況又如何呢？梯形可以看作平行四邊形的一半。如圖4所示，兩個相同的梯形并列組合形成了平行四邊形。因此，梯形的面積也是以長方形為基礎計算的，為“（上底 下底）×高÷2”。

從三角形到平行四邊形，再到梯形，雖然這三個圖形看上去沒什麼直接關聯，但它們的面積公式都是以長方形面積為基礎推導出來的。

近似的方法

積分的要領②：

将圖形看作小長方形的組合。

在小學算術課上，大家有沒有做過下面這樣的事情呢？如圖5所示，用圓規在方格紙上畫一個圓，然後數出圓中方格的個數。之後，再畫幾個大小不同的圓，并數出這些圓中方格的個數。

這項作業實際上與圓的面積公式相關。圓的面積公式是“半徑×半徑×3.14”，其中的3.14是圓周率的近似值，而“嘗試數方格的個數”就是一種講解圓周率推導的方法。

在這裡，我們來重新回顧一下這種方法。

先來數一數圖6中，半徑為2 cm的圓中有多少個方格3（方格的邊長為1 mm）。雖然這種方法有些不精确，但是能讓小學生更容易理解。

圖6圓中的方格共有1189個，用面積表示的話為11.89 cm2。

圓的面積公式是“半徑×半徑×圓周率”。在方格實驗中，我們的目的是求圓周率，所以可以把這個公式變形，得到“圓周率=面積÷（半徑×半徑）”。在圖6的例子中，圓的半徑為2，所以用面積除以2的2次方4，得出圓周率為2.972 5。

與3.14相比，這個結果太小了。雖然有些遺憾，但實驗就是

這樣的。即便如此，我們也會明白一件事情，即“圓周率，也就是π，粗略來說是接近3的數”。

再細分方格或者把圓變大的話，圓内方格面積的和，就會逐漸接近圓面積公式“半徑×半徑×3.14”，也就是說，圓周率

會逐漸接近3.14。像這樣，把圓的面積替換成方格的數量，逐漸求得接近待求值的方法叫作“近似”。我在小學時也做過這個實驗，數十年後的今天，我仍然清晰記得努力數完方格得出答案後，内心中洋溢的滿足感。

順便說一下，或許有人會産生以下疑問。

博士的回答是老師的常用手段，但是稍微有些糊弄的成分。因為這種回答還會遺留下面的疑問。

“不在意這些縫隙”具體是什麼意思？事實上，不管是在意還是不在意，縫隙總是會存在的，不是嗎？

這個疑問看上去似乎很無聊，但在高等數學中卻是一個很有意思的問題。從結論上來講，為了解決上述疑問，我們有必要使用“夾逼定理”（兩邊夾定理），從圓的内部和外部都取近似來研究圖形。即先計算出“圓内部的方格數”對應的圓周率，然後再用同樣的方法，計算出“包含圓邊界的方格數”（内部方格數加包含圓邊界的方格數）對應的圓周率。這樣一來，我們可以得到下面的結論：

圓内部方格數對應的圓周率 ＜ 圓實際的圓周率 ＜ 包含圓邊界的方格數對應的圓周率

如果将方格不斷替換為更小的方格，“圓内部方格數對應的圓周率”和“包含圓邊界的方格數對應的圓周率”，二者的數值會慢慢接近，都接近圓實際的圓周率，這就是“夾逼定理”。

在微積分中，不拘小節的精神同樣重要。

圖7是小方格組成的與圓近似的圖形。左邊是大方格，右邊是小方格。通過這兩個圖大概可以明白“把粗糙的圖形精細化，就會接近實際圖形（圓）”。精度非常高的鋸齒狀圖形，實際上很難在視覺上與平滑圖形區分出來。

電視、電腦的液晶顯示器，都是使用這個原理來顯示畫面的。液晶顯示器顯示的畫面實際上是鋸齒狀的。但是顯示器中鋸齒的精細度非常高，所以我們眼中看到的就是平滑的線了。

我們也可以這樣說，圓形實際上是由無數精細小方格組成的鋸齒狀圖形，即圓形是鋸齒狀圖形的“極限”。像這樣，“近似”在數學中是極其好用的方法。

如果執着于完美再現平滑的線，那麼就不會出現液晶顯示器吧。多虧了非完美主義的近似方法，才誕生了劃時代的技術。

和變為了積分

計算圓的面積時，小學中采用的方法是用“正方形”來劃分圓的内部空間。這樣做的原因實際上很簡單，就是因為方格紙的方格是正方形。

求圓的面積，要領是精細地劃分圓。也就是說，劃分的形狀應該不限于正方形。因此，我們可以把圓分成“細長的短條”來求面積。比如圖8，我們嘗試把圓分成細長的短條，也就是長方形的組合。

雖說如此，但既然說到了符号，從現在開始我們就嘗試使用積分符号吧。公式也會從此處開始出現，不過内容和剛才的講解是完全一緻的，所以請輕松地讀下去。和業界人士使用行業術語講話一樣，使用數學符号講解數學，相同的内容在表達上也會看起來非常優雅。

在圖9中，我們把圓裁切成非常窄的短條。水平方向為x軸。這時，圓的裁切方向和x軸正好是垂直關系。

在此基礎之上，我們選取一條寬度為Δx的短條。Δ是希臘字母，讀作“德爾塔”（Delta），多用作“差”（difference）的符号，表示非常小的數值。

現在，我們用公式來表示這條短條的面積。

短條的面積=短條在x值對應的長度×Δx

若問為什麼要算出短條面積，這是因為我們要從這裡開始計算圓的面積。把這些細長短條的面積相加，就是圓的面積。具體來說，把從左端到右端的短條全部相加就可以了。

在這裡，我們逐漸縮小短條的寬度，縮小到再也不能縮小的程度。這樣一來，短條與其說是長方形，倒不如說看起來更像“一條線”。無數根“線”相加，其結果逐漸接近“圓的面積”。用積分符号來表示的話，可以寫成以下形式。

公式中那個像把字母S縱向拉長的符号音同integral（積分）。積分原本就是“和”的意思，因此積分符号也是取自拉丁語中“和”的單詞Summa的首字母S。這是一位叫作萊布尼茨的數學家（兼哲學家）提出的。

在此簡單補充一點兒德爾塔（Δ）和d的内容。

Δ和d，這兩個符号都源于“差”（difference）。二者的不同之處在于，Δ是“近似值”，而英文小寫字母d是“精确值”。

“精确值”是什麼意思呢？例如圓周率π，3.14是其近似值，無限循環的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“精确值”。近似值在某種情況下必定是不正确的，而精确值在任何情況下都是正确的。

所以，我們可以這樣理解dx：“将原本用短條寬度Δx計算的數值，看作趨向于0的‘精确值’。”

總結一下，德爾塔（Δ）和英文小寫字母d分别在以下情況中使用。

德爾塔（Δ）——當存在寬度（寬度大于0）之時。

英文小寫字母d——當寬度趨向于0，計算極限數值時。

另外，雖然微積分中會出現各種各樣的公式、符号，不過初學者最開始不太理解這些東西也沒有關系，對Δ和d也同樣如此。

《 簡單微積分：學校未教過的超簡易入門技巧》作者：神永正博

本書為微積分入門科普讀物，書中以微積分的思考方法為核心，以生活例子通俗講解了微積分的基本原理、公式推導以及實際應用意義，解答了微積分初學者遭遇的常見困惑。本書講解循序漸進、生動親切，沒有煩瑣計算、幹澀理論，是一本隻需輕松閱讀便可以理解微積分原理的入門書。

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