一元函數微積分的發展?定積分原則可以看作是一種特殊數列的極限，具體定義定積分前先确定一個概念——劃分，接下來我們就來聊聊關于一元函數微積分的發展?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

一元函數微積分的發展

定積分原則可以看作是一種特殊數列的極限，具體定義定積分前先确定一個概念——劃分。

設有閉區間[a,b]和n 1個數x(0),x(1),...,x(n)，滿足a=x(0)<x(1)<...<x(n)=b，稱此為一個劃分P。此劃分的n個子區間{[x(i-1),x(i)]|i=1,2,...,n}中長度最大值λ(P)=max{x(i)-x(i-1)|i=1,2,...,n}稱為劃分P的參數。此外，若在劃分P的n個子區間内任選n個數ξ(1),ξ(2),...,ξ(n)（ξ(i)∈[x(i-1)，x(i)],i=1,2,...,n），則稱此為帶标志點的劃分(P,ξ)。

現在對于閉區間[a,b]構造一個帶标志點的劃分序列{(P(k),ξ)|k=1,2,...}，滿足lim[k→∞]λ(P(k)) = 0，即此劃分序列{P(k)}的參數（子區間長度的最大值）趨于零。

至此便可定義黎曼和：

設函數f(x)在閉區間[a,b]上有定義，對于上述帶标志點劃分序列中的某個劃分(P(k),ξ)定義下式

S(k) = ∑[i=1,n] f(ξ(i))(x(i)-x(i-1))

為黎曼和。

如果對于任意滿足lim[k→∞]λ(P(k)) = 0的帶标志點劃分序列{(P(k),ξ)|k=1,2,...}，相應的黎曼和數列{S(k)}存在極限S，即lim[k→∞] S(k) = S，則稱函數f(x)在閉區間[a,b]上黎曼可極，S為函數f(x)在閉區間[a,b]上的黎曼積分（或稱定積分）。記為

S = ∫[a,b] f(x)dx

其中的a和b也稱為定積分的下限和上限。

在上述定積分的定義中，标志點ξ是在相關子區間内任取的。如果取子區間内的函數最大點或最小點，則将得到兩個特别的黎曼和，分别稱為達布大和S(P)和達布小和s(P)。顯然，若在原劃分P的基礎上增加劃分點得新的劃分P',相應的達布和滿足下式。

s(P)≤s(P')≤S(P')≤S(P)

可見，對于參數趨于零的劃分，達布和數列“單調有界”，其必有極限。

黎曼可積的充分必要條件是，對于參數趨于零的劃分，達布大和數列的極限等于達布小和數列的極限。證明略。

由此可得推論，閉區間上的連續函數必定可積。

此外，适當放松上述條件有，閉區間上存在有限個間斷點的有界函數必定可積。

至此，給出了定積分的詳細定義和相關可積條件。

下面簡單羅列一下定積分的一些性質

1）線性性

∫[a,b] (k1 f(x) k2 g(x))dx = k1 ∫[a,b] f(x)dx k2 ∫[a,b] g(x)dx

2）乘積可積性

若f(x)和g(x)在閉區間[a,b]上可積，那麼其積f(x)g(x)在[a,b]上也可積。

3）保序性

若f(x)和g(x)在[a,b]上可積，且在[a,b]上有f(x)≥g(x)，則成立

∫[a,b] f(x)dx ≥ ∫[a,b] g(x)dx

4）絕對可積性

若f(x)在[a,b]上可積，則|f(x)|在[a,b]上也可積。

5）區間可加性

∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx ∫[c,b] f(x)dx

6）積分第一中值定理

設f(x)和g(x)都在[a,b]上可積，g(x)在[a,b]上不變号，則存在η∈[m,M]，使得

∫[a,b] f(x)g(x)dx = η∫[a,b] g(x)dx

其中M和m分别是f(x)在[a,b]的上下确界。

如果f(x)在[a,b]上連續，則有

∫[a,b] f(x)g(x)dx = f(ξ)∫[a,b] g(x)dx

其中ξ∈[a,b]

最後給出微積分基本定理——牛頓-萊布尼茲定理

設f(x)在[a,b]上連續，F(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數（即d/dx F(x) = f(x)），則成立

∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)

微積分基本定理建立了定積分和不定積分的關系，也給計算定積分提供了一個方法。

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