一元二次函數是高考數學的核心，同時也是難點，出題人主要從兩個方面進行考核：帶參數的一元二次函數和不帶參數的一元二次函數。而且高考習題中很多時候會考核學生換元的思想，大部分題型是換元後轉變為二次函數進行求解。

函數中值域是學生們比較頭疼的事情，本次課程我們将二次函數分為八大類，結合具體的實例為大家進行求值域方法的講解，總結了一套通用的方法，有了技巧學習才會快，才能快速成為尖子生哦。

課程概述：本次課程總共八道經典例題，八種類型的求值域方法彙總，學習時間大概是40分鐘，請合理安排自己的時間哦。

本次課程我們主要講解不含參數的一元二次函數值域的求解方法，教你輕松拿下一元二次函數的值域問題。

溫馨提示：x的平方記為：x^2。

本次課程我們所講解的二次函數是形如：f（x）=ax^2 bx c(a不為0）的二次函數。時間關系，此次課程我們隻講解不含參數的二次函數怎麼去求值域，含參數的二次函數我們下次課程再進行詳細講解。

八大類型的二次函數求值域，配着八大經典例題，希望學生們能夠認真學習和吸收哦，不帶參數的二次函數入門掌握了，才能學習帶參數的二次函數哦，一步一個腳印才能掌握核心内容！

值域的幾何意義就是圖像中y值的取值範圍。計算含義就是表達式的取值範圍。大家一定要清晰值域指的是什麼，才能明白我們講解的技巧哦。

不含參數的一元二次值域分為8個類型：

值域為R的二次函數分為兩個小類型：分别為

總體解決方法：看函數開口方向，最大值或者最小值為f（-b/2a），代入進行求值域即可。

類型1：開口向上的二次函數

開口向上的二次函數，函數的值域為f（x）大于等于（4ac-b^2)/4a；

類型2：開口向下的二次函數。

開口向下的二次函數，定義域為R，值域為f（x）小于等于（4ac-b^2)/4a。

技巧說明：嚴格按照上面給出的公式進行求解即可，可以記住模闆進行數值的代入求解的。

例題1：求f（x）=x^2 2x 4的值域

解析：代入上面給出的公式即可，函數圖像開口向上，函數的值域為f（x）大于等于f（-b/2a）=f（-1）=3，函數的值域為f（x）大于等于3；

例題2：求f（x）=-x^2 2x 4的值域

解析：函數的值域為f（x）小于等于f（1），即函數的值域為f（x）小于等于f（1）=5。

在這個類型中具體可以分為6個小類型。分别為：

類型3：開口向上的二次函數給定區間包括對稱軸，

如圖：可以發現函數的對稱軸處是函數的最小值，距離對稱軸越遠的點的縱坐标為函數的最大值。通過計算給定區間距離對稱軸的距離求函數的值域即可。

類型4：開口向上的二次函數給定區間在對稱軸的右側；

如圖，利用函數的單調性（在對稱軸的左側函數單調遞增）進行求解即可。即如果給定的區間為（x7，x8），則函數的值域為（f（x7），f（x8））。

類型5：開口向上的二次函數給定區間在對稱軸的左側。

如上圖利用函數的單調性（在對稱軸的左側函數單調遞減）進行求解即可。即如果給定的區間為（x5，x6），則函數的值域為（f（x6），f（x5））。

類型6：開口向下的二次函數給定區間在對稱軸的右側。

直接利用函數的單調性（在對稱軸的右側函數單調遞減）進行求解即可。即如果給定的區間為（x3，x4），則函數的值域為（f（x4），f（x3））。

類型7：開口向下的二次函數給定區間在對稱軸的左側。

直接利用函數的單調性（在對稱軸的左側函數單調遞增）進行求解即可。即如果給定的區間為（x1，x2），則函數的值域為（f（x1），f（x2））。

類型8：開口向下的二次函數給定區間包括對稱軸。

如圖：可以發現函數的對稱軸處是函數的最大值，距離對稱軸越遠的點的縱坐标為函數的最小值。通過計算給定區間距離對稱軸的距離求函數的值域即可。

例題3：求f（x）=2x^2 2在【4，6】上的值域；

解析：f（x）的對稱軸為x=0，給定區間在對稱軸的右側，利用單調性求得函數的值域為【f（4），f（6）】即【34，74】。

例題4：求f（x）=4x^2 8x在【-2，0】上的值域；

解析：f（x）的對稱軸為x=-1，給定區間包括對稱軸，-2和0到對稱軸的距離相等（f（-1）=f（0）），因此函數的值域為【f（-1），f（0）】即【-4，0】；

例題5：求f（x）=x^2 2x在【-4，-3】上的值域；

解析：f（x）對稱軸為x=-1，給定區間在對稱軸的左側，函數單調遞減，函數的值域為【f（-3），f（-4）】，即【3，8】；

例題6：求f（x）=-x^2 8x 1在【-1，0】上的值域；

解析：函數的對稱軸為x=4，給定區間在對稱軸的左側，單調遞增，函數的值域為【f（-1），f（0）】即【-8，1】。

例題7：求f（x）=-x^2 4x在【1，6】上的值域；

解析：函數的對稱軸為x=2，給定區間包括對稱軸，6到2的距離大于1到2的距離，因此函數的值域為【f（6），f（2）】即【-12，4】。

例題8：求f（x）=-x^2-2x 1在【1，3】上的值域；

解析：函數的對稱軸為x=-1，給定區間在對稱軸的右側，因此函數的值域為【f（3），f（1）】即函數的值域為【-14，-2】。

四個步驟教你輕松計算二次函數的值域：

1 首先找到二次函數的對稱軸；

2 根據區間和對稱軸的關系進行8大類型的二次函數值域求解模塊的匹配；

3 根據找到的模塊進行值域的求解；

4 最後計算出相關的結果即可；

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