培飛思維數學課堂

數學到底哪裡有趣了？數學之美究竟在哪裡？

​今天讓我們一起讀一讀matrix67大神的這篇文章，裡面包含作者精心選擇的10個老少鹹宜的算術問題，以定理、趣題甚至未解之謎等各種形式帶領大家窺探數學世界的一角。不少問題背後都蘊含了深刻的數學知識，觸及到數學的各個領域。 希望大家能夠喜歡上數學這門充滿樂趣的學科。

任意選一個四位數（數字不能全相同），把所有數字從大到小排列，再把所有數字從小到大排列，用前者減去後者得到一個新的數。重複對新得到的數進行上述操作，7 步以内必然會得到 6174。

例如，選擇四位數 6767：

7766 - 6677 = 1089

9810 - 0189 = 9621

9621 - 1269 = 8352

8532 - 2358 = 6174

7641 - 1467 = 6174

……

6174 這個“黑洞”就叫做卡普雷卡爾（Kaprekar）常數。對于三位數，也有一個數字黑洞——495。

從任意一個正整數開始，重複對其進行下面的操作：如果這個數是偶數，把它除以 2 ；如果這個數是奇數，則把它擴大到原來的 3 倍後再加 1 。你會發現，序列最終總會變成 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循環。

例如，所選的數是 67，根據上面的規則可以依次得到：

67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

數學家們試了很多數，沒有一個能逃脫“421 陷阱”。但是，是否對于 所有 的數，序列最終總會變成 4, 2, 1 循環呢？

這個問題可以說是一個“坑”——乍看之下，問題非常簡單，突破口很多，于是數學家們紛紛往裡面跳；殊不知進去容易出去難，不少數學家到死都沒把這個問題搞出來。

已經中招的數學家不計其數，這可以從 3x 1 問題的各種别名看出來： 3x 1 問題又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 問題、 Kakutani 問題、 Hasse 算法、 Ulam 問題等等。

後來，由于命名争議太大，幹脆讓誰都不沾光，直接叫做 3x 1 問題算了。

直到現在，數學家們仍然沒有證明，這個規律對于所有的數都成立。

如果兩個兩位數的十位相同，個位數相加為 10，那麼你可以立即說出這兩個數的乘積。如果這兩個數分别寫作 AB 和 AC，那麼它們的乘積的前兩位就是 A 和 A 1 的乘積，後兩位就是 B 和 C 的乘積。

比如，47 和 43 的十位數相同，個位數之和為 10，因而它們乘積的前兩位就是 4×(4 1)=20，後兩位就是 7×3=21。也就是說，47×43=2021。

類似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。

這個速算方法背後的原因是，(10 x y) (10 x (10 - y)) = 100 x (x 1) y (10 - y) 對任意 x 和 y 都成立。

一個“三階幻方”是指把數字 1 到 9 填入 3×3 的方格，使得每一行、每一列和兩條對角線的三個數之和正好都相同。

下圖就是一個三階幻方，每條直線上的三個數之和都等于 15。

大家或許都聽說過幻方這玩意兒，但不知道幻方中的一些美妙的性質。例如，任意一個三階幻方都滿足，各行所組成的三位數的平方和，等于各行逆序所組成的三位數的平方和。對于上圖中的三階幻方，就有

816² 357² 492² = 618² 753² 294²

利用線性代數，我們可以證明這個結論。

從 1/19 到 18/19 這 18 個分數的小數循環節長度都是 18。把這 18 個循環節排成一個 18×18 的數字陣，恰好構成一個幻方——每一行、每一列和兩條對角線上的數字之和都是 81

（注：嚴格意義上說它不算幻方，因為方陣中有相同數字）。

一個數正讀反讀都一樣，我們就把它叫做“回文數”。随便選一個數，不斷加上把它反過來寫之後得到的數，直到得出一個回文數為止。例如，所選的數是 67，兩步就可以得到一個回文數 484：

67 76 = 143

143 341 = 484

把 69 變成一個回文數則需要四步：

69 96 = 165

165 561 = 726

726 627 = 1353

1353 3531 = 4884

89 的“回文數之路”則特别長，要到第 24 步才會得到第一個回文數，8813200023188。

大家或許會想，不斷地“一正一反相加”，最後總能得到一個回文數，這當然不足為奇了。事實情況也确實是這樣——對于 幾乎 所有的數，按照規則不斷加下去，遲早會出現回文數。

不過，196 卻是一個相當引人注目的例外。數學家們已經用計算機算到了 3 億多位數，都沒有産生過一次回文數。從 196 出發，究竟能否加出回文數來？196 究竟特殊在哪兒？這至今仍是個謎。

選取一個正整數 n。把所有分母不超過 n 的 最簡 分數找出來，從小到大排序。這個分數序列就叫做 Farey 序列。例如，下面展示的就是 n = 7 時的 Farey 序列。

定理：在 Farey 序列中，對于任意兩個相鄰分數，先算出前者的分母乘以後者的分子，再算出前者的分子乘以後者的分母，則這兩個乘積一定正好相差1 ！

這個定理有從數論到圖論的各種證明。甚至有一種證明方法巧妙地借助 Pick 定理，把它轉換為了一個不證自明的幾何問題！

經典數字謎題：用 1 到 9 組成一個九位數，使得這個數的第一位能被 1 整除，前兩位組成的兩位數能被 2 整除，前三位組成的三位數能被 3 整除，以此類推，一直到整個九位數能被 9 整除。

沒錯，真的有這樣猛的數：381654729。其中 3 能被 1 整除，38 能被 2 整除，381 能被 3 整除，一直到整個數能被 9 整除。這個數既可以用整除的性質一步步推出來，也能利用計算機編程找到。

另一個有趣的事實是，在所有由 1 到 9 所組成的 362880 個不同的九位數中，381654729 是唯一一個滿足要求的數！

123456789 的兩倍是 246913578，正好又是一個由 1 到 9 組成的數字。

246913578 的兩倍是 493827156，正好又是一個由 1 到 9 組成的數字。

把 493827156 再翻一倍，987654312，依舊恰好由數字 1 到 9 組成的。

把 987654312 再翻一倍的話，将會得到一個 10 位數 1975308624，它裡面仍然沒有重複數字，恰好由 0 到 9 這 10 個數字組成。

再把 1975308624 翻一倍，這個數将變成 3950617248，依舊是由 0 到 9 組成的。

不過，這個規律卻并不會一直持續下去。繼續把 3950617248 翻一倍将會得到 7901234496，第一次出現了例外。

1/49 化成小數後等于 0.0204081632 …，把小數點後的數字兩位兩位斷開，前五個數依次是 2、4、8、16、32，每個數正好都是前一個數的兩倍。

100/9899 等于 0.01010203050813213455 … ，兩位兩位斷開後，每一個數正好都是前兩個數之和（也即 Fibonacci 數列）。

而 100/9801 則等于 0.0102030405060708091011121314151617181920212223 …

利用組合數學中的“生成函數”可以完美地解釋這些現象的産生原因。

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