1、y=f(x)，(x∈D), x0∈D

（1）若存在δ>0, 當0<|x-x0|<δ時, f(x)>f(x0), 稱x0為極小值點

（2）若存在δ>0, 當0<|x-x0|<δ時, f(x)<f(x0), 稱x0為極大值點

推論：

若x=a為f'(x)的極值點 => f'(a)=a或f'(a)不存在，反之不成立

反例：(1)y=x^3; (2) [y=1 x(x<0),y=e^2x(x>=0)]

若x=a為f(x)極值點且f(x)可導 => f'(a)=0

2、求極值步驟

y=f(x)

（1）找準x的範圍x∈D

（2）找出f'(x)等于0或者不存在的點x=......

（3）利用判别法判斷是否為極值

法1：（第一充分條件）

1）當x<x0時，f'(x)<0, 當x>x0時，f'(x)>0, 則x=x0為極小值點

2）當x<x0時，f'(x)>0, 當x>x0時，f'(x)<0, 則x=x0為極大值點

例1：f(x)=x^3-6x^2 2 x∈(-∞, ∞) f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4) f'(x)=0 => x1=0, x2=4 x<0時，f'(x)>0，0<x<4時，f'(x)<0，x=0為函數的極大值點 0<x<4時，f'(x)<0，x>4時，f'(x)>0，x=4為函數的極小值點

法2：（第二充分條件）

f'(x0)=0，若f''(x0)>0則x=x0為極小值點，若f''(x0)<0則x=x0為極大值點

例2：f'(1)=0, lim(x->1)f'(x)/sinπx=2, 問：x=1是什麼點？ 法1： 因為lim(x->1)f'(x)/sinπx=2>0 所以存在δ>0,當0<|x-x0|<δ時，f'(x)/sinπx>0 x∈(1-δ,1)時，f'(x)>0，x∈(1,1 δ)時，f'(x)<0，則x=1為極大值點

前面講的是極大值與極小值，那麼在連續函數中最大值和最小值必然在極大值和極小值還有兩端端點處的函數值取得。所以如果要求最值，就得将所有極值和兩端端點函數值求出。

例3：求y=x^3-3x^2-9x 1（y∈c[-2,4]）的最值 y'=3x^2-6x-9=3(x^2-2-3)=3(x 1)(x-3) 令y'=0 => x1=-1, x2=3 f(-2)=-1, f(-1)=6, f(3)=-26, f(4)=173 所以max=173, min=-26

例4：設p>1,證：當x∈[0,1]時， 1/[2^(p-1)]<=(x^p) (1-x)^p<=1 令f(x)=(x^p) (1-x)^p f'(x)=px^(p-1)-p(1-x)^(p-1)=0 => x=1/2 f(0)=1, f(1/2)=1/[2^(p-1)]<1, f(1)=1 所以1/[2^(p-1)]<=f(x)<=1 即1/[2^(p-1)]<=(x^p) (1-x)^p<=1

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