斷點回歸是一種‘準自然實驗’式研究，其思想在于存在一個連續變量（驅動變量X，或分組變量，或處理變量），該變量某臨界點cutoff處可拆分成左側和右側，進而研究該變量對于另一變量（結果變量Y，或因變量）的影響。比如高考時本科線為500分，那麼有的學生好低于500分，有的弱高于500，但正是由于500這個cutoff斷點值，導緻學生是否能上本科，進而最終影響到學生以後的收入情況，此處高考成績即為驅動變量X，收入則為結果變量Y。

上述的500分是一個非常明确的斷點cutoff值，如果低于500分一定不能上本科，高于500分一定可以上本科，那麼此類RDD模型則稱為‘精确斷點’（sharp regression discontinuity design, 簡稱SRD）。如果說有的學生有着‘特長加分項’，分數小于500分但正由于其有着‘特長加分項’因而上了本科，也或者有的學生高于500分但是其更願意讀了優秀的專科，此類情況時的斷點回歸研究，稱作為‘模糊斷點回歸’（fuzzy regression discontinuity, 簡稱FRD），多數情況下研究均使用精确斷點SRD；除此之外，RDD斷點回歸模型時有時還會加入到控制變量。上述涉及幾個關鍵術語，彙總如下表：

一般來講美國民主黨更傾向于更多的聯邦支出，案例研究是否民主黨獲選對于聯邦支出的影響。通常情況下如果得票率大于50%即會獲選，反之小于50%則會落選。因而得票率則為驅動變量X，此處0.5則可作為斷點cutoff值（研究中為了方便使用，因而将得票率 – 0.5）作為驅動變量，即最終cutoff值為0，大于0則應該獲選，小于0則應該落選）。結果變量Y為聯邦支出。而且還包括另外2個控制變量。除此之外，還包括另外一個變量‘是否獲選’作為判斷是否模糊斷點。本案例數據使用Stata軟件的votex.sta數據，各數據的定義如下：

RDD斷點回歸的分析知識點相對較多，從分析步驟包括，具體可精确斷點或模糊斷點的選擇，模型選擇，模型基本假定分析，模型分析，模型穩健性檢驗等。具體分為以下5步。

第一步、精确斷點和模糊斷點判斷

判斷精确斷點或模糊斷點的思路在于處理變量X被cutoff分為左右兩側後，是否真正決定‘實驗走向’，比如本案例中cutoff值分成兩組後即認為‘民主黨是否當選’（命名為new_x），而fuzzy模糊項即真實是否當選項，如果與new_x與fuzzy項沒有特别明顯的不一緻，甚至完全一樣，此時則應該使用精确斷點。反之如果new_x與fuzzy項有着明顯的差異，此時使用模糊斷點較為适合。

第二步、模型選擇，通常指模型階數的判斷

研究X對于Y的影響時，二者的關系是線性關系（一階），還是曲線二階關系，也或者三階關系。可首先通過圖示直觀查看，并且得出結論。待定模型階數後，後續分析基于該階數進行分析使用。至于‘帶寬值’或者‘核函數’，通常默認即可，SPSSAU會自動找出最優帶寬值，默認使用triangular三角核函數。

第三步、模型基本假定分析

RDD模型通常包括着一定的假設，通常包括‘斷點适用性檢驗’和‘局部平滑性檢驗’。如下所述：

第四步、模型分析

在上述确認好精确或模糊斷點，并且确定好模型階數，并且模型适合時，則開始分析X對于Y的影響關系情況。

第五步、模型穩健性檢驗

模型分析後，還需要對模型穩健性進行檢驗。模型穩健性檢驗有多種方式，包括更換核函數法、更換斷點值法，是否加入控制變量法，更換帶寬值法，更換階數，改變樣本選擇法，如下表格所述。

第一步、精确斷點和模糊斷點判斷

将X按cutoff值0分為兩組，并且與fuzzy項進行交叉卡方分析。操作截圖分别如下：

使用SPSSAU數據處理->數據編碼功能，并且選擇‘範圍編碼’，将x按cutoff值0分為兩組（可通過描述分析得到x的最小值為-0.276，最大值0.470）。系統會自動生成一個新标題‘New_x’，将該項與fuzzy項進行交叉卡方，得到如下結果：

New_x代表x分為兩組後的新變量，0代表cutoff值左側（落選），1代表cutoff值右側（當選）。而fuzzy項裡面的0和1代表真實情況下‘是否當選’（0為落選，1為當選）。從上表格可以看到：二者數據完全一緻，按cutoff值得到的131個‘落選’樣本真實情況下也是‘落選’，按cutoff值得到的218個‘當選’樣本真實情況下也是‘當選’。即意味着應該使用精确斷點。

提示：

實際研究中，如果數據的gap較小，此時也可直接使用精确斷點回歸。

确認好為精确斷點模型之後，接着進行第二步。

第二步、模型階數判斷

模型階數判斷時使用直觀圖示法。即首先進行模型分析，通過圖示查看模型應該是一階、二階或三階更加适合。首先操作如下圖：

首先放入結果變量y，驅動變量x，2個控制變量。以及設置好斷點值為0（默認不設置即為0），選中‘繪圖’複選框。至于另外4個參數（帶寬值、核函數、階數和穩健性檢驗）默認即可。此步驟主要查看繪圖，用于确認‘階數’。得到圖形如下：

從上圖可以看到，最左側‘線性拟合’即一階時或者中間‘二次型拟合’即二階時，模型拟合相對較好。可能‘二次型拟合’相對更适合。因而确定模型為二階。并且後續以二階為準進行分析。另外從上面三個圖可以看到，斷點值左右兩側附近的樣本量基本均勻，即說明斷點值選擇适合沒有受到人為操縱。

第三步、模型基本假定分析

模型基本假定分析時，通常包括‘斷點适用性檢驗’和‘局部平滑性檢驗’。關于‘斷點适用性檢驗’如果說cutoff值兩側附近的斷點樣本量基本均勻則說明斷點選擇适合，不受人為操縱。從第二步中得到的圖形也可以看出，斷點值附近兩側的點基本差不多，說明當前案例設置的斷點值準确，并沒有受到人為操縱幹擾。

除此之外，還需要查看‘局部平滑性檢驗’，即分别将控制變量作為驅動變量X進行斷點回歸，通過圖示法查看斷點值是否在控制變量身上也起效果，即‘同樣的斷點值不應該在控制變量身上也起作用’，此檢驗通常并不完全需要。并且有時候控制變量并不能被當前斷點cutoff值區分為兩側因而不能進行分析，本案例即是此類情況，本案例不進行‘局部平滑性檢驗’。

第四步、模型分析

第一步确認好模型為精确斷點，并且第二步确定為二階模型最優，而且滿足基本模型假定。因而進行操作，準備得到最終結果。操作如下圖所示：

分别設置結果變量y，驅動變量x，2個控制變量。以及設置好斷點值為0（默認不設置即為0），設置為‘二階’，選中‘穩健性檢驗’複選框。至于另外2個參數（帶寬值、核函數）默認即可，并且将‘繪圖’複選框取消（因為已經不再需要通過圖示查看階數）。此步驟為了得到最終結果。見‘SPSSAU輸出結果’部分說明。

第五步、模型穩健性檢驗

在得到模型最終結果時，選中‘穩健性檢驗’複選框，系統默認提供不同帶寬值（0.25倍、0.5倍、0.75倍、1倍、1.25倍、1.5倍、1.75倍和2倍共8個不同帶寬值）時的結果，便于進行穩健性檢驗查看，實際研究中，可能并不需要8個不同帶寬值情況下的結果對比，通常隻需要1倍帶寬值附近（比如0.75倍、1倍和1.25倍）共3項帶寬值時結果對比，如果結論基本穩定即說明模型具有穩健性。

模型穩健性檢驗并沒有固定的做法，隻要可以證明模型具有穩健性（不同情況下模型結論基本一緻則說明具有穩健性），具體穩健性方式上有很多種，一般使用1種或2種即可并沒有固定标準。

至于其它的方式，比如‘更換核函數’法，‘更換斷點’法，‘是否加入控制變量’法，‘更換階數’法和‘樣本選擇法’。研究者可自行更換模型進行結果對比研究。尤其是‘更換核函數’法，‘是否加入控制變量’法和‘更換階數’這3種方式，其操作簡單方便，隻需要在SPSSAU系統中下拉選擇下參數更換即可進行，建議研究者嘗試使用查看對比即可。比如‘更換核函數法’，操作截圖如下所示：

SPSSAU默認是使用‘triangular三角核函數’，可選為‘Epanechnikov核函數’和‘Uniform核函數’，來回切換另外兩個核函數，将結果進行彙總對比即可，如果結論基本一緻則說明模型具有穩健性。

針對本案例結果，即‘精确斷點’且‘二階模型’時結果，SPSSAU共輸出表格和圖形，具體說明如下：

本案例得到最終結果，包括RDD基本情況、RDD參數情況、RDD樣本數據情況、RDD斷點回歸結果彙總，穩健性檢驗結果和穩健性檢驗coefplot圖，分别說明如下：

從上表格可以看到結果變量、處理變量、控制變量或fuzzy項對應的項名稱，本案例中有兩個控制變量，另本案例最終為精确斷點，因而沒有設置fuzzy模糊項。

從上表可以看到，斷點值為0，并且沒有設置過帶寬值，模型自動計算出‘最優帶寬值’為0.096，并且默認使用三角triangular核函數，模型設定為2階。以及選中‘穩健性檢驗’，SPSSAU自動會提供不同帶寬值時模型彙總結果。

上表格可以看到，斷點值為0，斷點值左側樣本量為131個，右側為218個，總共分析樣本量為349個。

上表格可模型結果核心表格，從上表格可以看到，p值均大于0.05，但是小于0.1，也即意味意味着如果以0.1作為顯著性水平，那麼回歸系數呈現出顯著性，如果以0.05作為标準，則說明沒有顯著性。無論是Conventional法，也或者校正bias法（Bias-Corrected），也或者穩健法檢驗robust時。

提示：

斷點回歸時對于回歸系數的檢驗共提供3種方式，分别是Conventional法、Bias- Corrected和Robust法，三種方式并沒有優劣之分。通常使用其中一種即可，比如Conventional法。下述基于不同帶寬穩健性檢驗時默認彙總Conventional法。

由于本案例時選擇‘穩健性’檢驗，因而SPSSAU提供上表格展示不同帶寬值（0.25倍、0.5倍、0.75倍、1倍、1.25倍、1.5倍、1.75倍和2倍共8個不同帶寬值）時回歸系數顯著性檢驗結果，默認彙總Conventional法的顯著性檢驗結果。從上表格可以看到，8種情況下時，隻有其中4種帶寬下呈現出0.1水平顯著性，另外遠離1倍較遠的帶寬時并沒有呈現出顯著性。

整體上看，如果模型以0.1作為顯著性水平，那麼模型具有一定的穩健性（如果是0.05作為标準，則穩健性非常強，因為全部p值均大于0.05）。建議還可進一步通過其它方式，比如‘更換核函數’法，‘是否加入控制變量’法和‘更換階數’等進一步查看。本案例中如果使用‘更換核函數’，‘是否加入控制變量’或者‘更換階數’，也會有出現0.1水平顯著的結論（但并不完全是）,但全部均會出現0.05水平不顯著的結論，即意味着如果模型以0.1作為顯著性标準，此時模型穩健性較弱，而模型以0.05水平作為标準，此時模型穩健性非常強，無論如何顯著性值均大于0.05，最終模型以0.05作為顯著性水平，即意味着模型并不顯著，即‘民主黨當選對于聯邦支出并沒有實際性影響’，并且此結論非常穩健。

上圖為基于不同帶寬時，模型回歸系數95%置信區間進行展示的coefplot圖，從圖中可以看到，8種不同帶寬時，95%置信區間均包括數字0，即明顯的可以看到，模型在0.05水平上不顯著，此結論穩定。

涉及以下幾個關鍵點，分别如下：

• RDD斷點回歸時，分析步驟較多，建議逐步進行，且在判斷時盡量多的對比綜合分析，而不能隻查看某一個模型基礎上得到最終結論；

• 多數情況下使用精确斷點，如果确實有非常強的理由證明應該使用模糊斷點，也可使用模糊斷點；

• 模型階數判斷上結合圖示進行，但帶有一定的主觀性，建議對比選擇；

• 模型假定分析時，圖示直觀上滿足即可，不太可能模型完美的滿足；

• 模型分析時有3種顯著性檢驗方式，選擇其中一種即可；

• 模型穩健性檢驗有很多種方式，通常選中一個或者兩個即可。

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