雞兔同籠問題是小學階段非常經典的數學問題，可以這麼說，所有的小學生都學習過或見識過雞兔同籠問題，而且有不少學生還為此吃盡了苦頭。為什麼雞兔同籠問題在中國這麼“流行”呢？因為這個問題本身就是我們中國人提出來的。

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我翻閱了一下中國古代的數學書籍《孫子算經》，裡面就有關于雞兔同籠問題的描述，在《孫子算經》裡，雞兔同籠問題被叫做雉兔同籠問題，原文是：今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問：雉、兔各幾何？翻譯一下就是：雞、兔在同一個籠子裡，上面有35個頭，下面有94隻腳。問：雞、兔各多少隻？

為什麼這道題這麼經典，竟然被收錄到《孫子算經》裡面，就是因為這裡面涉及到兩種動物，兩種動物的腳數不相同，需要通過假設、利用想象來進行求解，非常有利于訓練學生的思維能力。

實際上，雞兔同籠的解決方法非常多，我自己就總結了十幾種，當然，大家不需要記住每種做法，事實上，有的做法也不見得是非常适合，隻是用于拓展一下大家的思路，給出另類的解決方案，供大家學習參考。

下面我就把這些解法一一列出，快去找尋适合你的那種解題方法吧！

經典解法一：先易後難列表法

先介紹一種最最基礎的做法，這種做法看起來比較“笨”，但是卻有它的優點，具體的解決辦法就是一個一個的數，一個一個地試。

首先列一個表格，在表格中可以看到，雞和兔子的腳數不同，所以，對于不同隻數的雞和兔子，雖然它們的總數相等（都等于35隻），但是腳數是變化的，我們将不同組合下的雞和兔子的腳數分别列出來，以表格的形式展示如下：

列表的時候，我們先假設雞有35隻，那麼兔子就隻能是0隻，這樣就算出了總的腳數，然後将雞的隻數遞減，兔子的隻數遞增，依次計算出總的腳數，最終能夠計算出當雞有23隻，兔子有12隻時，總腳數等于94隻，符合題目中的條件，進而得到最終的結果。

實際上，在填寫表格的時候，也不需要完全把所有的結果都計算出來，隻需要填寫幾個空格，細心的同學通過觀察數字的變化規律，就可以很輕松的判斷出雞和兔子的隻數了。

很多學生和家長對這種方法不屑一顧，覺得這種方法既笨拙又麻煩，我并不這麼認為，其實，對于小學低年級的學生而言，這種方法我倒是認為是最值得推薦的方法，因為在制作表格的過程中，學生需要自主地去探索雞、兔在數量變化的時候，總腳數的變化特點，通過動手繪制以及用眼觀察，分析比較得出，由于兔子的腳比雞多兩隻，所以當雞數少1隻，兔數多1隻的時候，總腳數會增加2隻的規律性認識。而這正是培養學生探索精神，提升學生數學思維的重要途徑。

經典解法二：靈機一動假設法

雞兔同籠的解法中，我個人最喜歡的同時也是最推薦學生使用的就是假設法，因為假設法幾乎能夠解決所有類型的雞兔同籠問題，即使題目進行了很大的改編和變形，假設法都能有效的對題目進行解析，當然，對于一些變形的雞兔同籠問題，用假設法會比較燒腦。在實際應用中，假設法幾乎是最經典，最有效率的一種方法，學生運用假設，将不同的情形（雞和兔子的腳數不同）轉化成相同的情形，有利于簡化問題，理清思路。

雞兔同籠問題的難點就在于每隻雞和每隻兔子的腳數是不同的，這是問題的難點，但也是解決問題的關鍵點或者說是突破口，假設雞和兔子的腳數相同，那麼，題目就會大大簡化，将複雜問題簡單化，是解決數學問題的常見思路。

假設一：所有兔子都站起來，藏起2隻腳。這樣的話，每隻雞和每隻兔子的腳數就相等了，都是2隻，在這種情況下，一共有35個頭，也就是說一共有35隻動物，每個動物有2隻腳，那麼總的腳數=35×2=70隻，這比題目給出的94隻腳少了24隻，想一想為什麼少了？因為每隻兔子都站了起來，收起了2隻腳，一隻兔子少2隻腳，一共少了24隻腳，所以一共有24÷2=12隻兔子，再用35-12=23就是雞的數量。

假設二：我們也可以把雞假設成兔子，此時，所有雞增加2隻腳。這樣的話，每隻雞和每隻兔子的腳數就相等了，（都是4隻），在這種情況下，一共有35個頭，也就是說一共有35隻動物，每個動物有4隻腳，那麼總的腳數=35×4=140隻，這比題目給出的94隻腳多了46隻，想一想為什麼這次腳又多了呢？因為每隻雞都多了2隻腳，一隻雞多2隻腳，一共多了46隻腳，所以一共有46÷2=23隻雞，再用35-23=12就是兔子的數量。

實際上，假設法不僅能做出經典的雞兔同籠問題，對于一些雞兔同籠變形題，包括分組法解決的雞兔同籠問題，都能很好地解決，大家要不斷地用假設法去嘗試解決這類問題。

經典解法三：公平交換代換法

實際上，我們還可以用一二年級時學到的變量代換的方法求解雞兔同籠問題。用紅圓圈代表雞，用藍圓圈代表兔子。根據題意，我們可以列出下面的算式：

這種方法也是我非常推薦的，因為這種方法雖然隻是用到了一二年級的知識，但實質上卻是方程思想的初步應用，是設未知數求解問題的雛形，在這道題中，我們分别用紅圈和藍圈代表雞和兔子，本質上就是一種數學抽象，對提升學生的分析歸納問題能力有非常好的作用和效果。

當然，這種做法對四年級以下的學生來說，聽是能聽懂的，但讓他們再做一次恐怕有些難度，因為這種做法的實質是方程解法，隻不過用符号代替了x、y，對低年級的學生來說是有一定難度的。

我比較建議家長用這種方法嘗試給孩子講一下，看看孩子的反應，也看看孩子在今後遇到雞兔同籠問題時，會采用哪一種方法，可以據此做一個對孩子理解力的初步判斷，如果他仍然願意并能夠使用這種方法解決雞兔同籠問題，那我覺得是可以提前給他講講方程的。

經典解法四：一目了然圖形法

雞兔同籠問題當然還可以采用圖形的方法來解決，比如，下面我先用線段表示雞和兔，藍色的線段代表雞的隻數，紅色線段代表兔的隻數。

​

我們知道，一隻雞2隻腳，一隻兔子4隻腳，我們在上圖的基礎上，向外拓展一下，形成下面的圖形。

​

可見，藍色區域的面積等于雞×2，即雞的腳數，紅色區域的面積等于兔×4，即兔子的腳數。

這裡邊有一個條件我們不要忽略了，那就是雞和兔子的數量一共是35隻。這樣我們就可以構建出下面的圖形。

​

從上圖中可以計算出35×4=140，是整個圖形的面積，從上面的分析中可以知道，多出來的陰影部分面積應該等于140-94=46，而這個長方形的寬=4-2=2，那麼長就應該等于46÷2=23，也就是雞的數量，進而我們可以得出兔子的數量是35-23=12隻。

這種方法也是我比較推薦的，并不是說它計算得有多麼快，多麼便捷，而是說這種方法為我們拓寬了求解雞兔同籠問題的視野，使我們從呆闆單一的數字運算中，愉快地過渡到圖形的世界之中，對于啟發學生的數形結合思想，激發學生的創造力非常有幫助。

說到這裡我要提醒一下家長，我用面積的方法來講，家長們應該能看懂，但實際上，三年級的學生，如果按照課本的知識點講解進度來說，這種方法可能是他聽不懂的，當然，也有部分學生能聽懂。

這種方法的表現是數形結合，實質是面積概念中的這個“積”的應用，所謂的積就是兩個數相乘，從算式來看，就是35×4，從圖形來看，就是長35，寬4的一個長方形的圖形面積，顯然，我們可以用圖形的面積來代表兩個數的乘積，這種思路會不會啟發學生去解決行程問題，濃度問題，工程問題呢？

經典解法五：簡單粗暴設x

設雞有x隻，因為雞和兔子一共有35隻，那麼兔子就有35-x隻，根據題意，一隻雞2隻腳，所以雞的腳數是2x隻，一隻兔子4隻腳，所以兔子的腳數是4×(35-x)，我們知道總腳數是94隻，所以可以列出下面的算式：

2x (35-x)×4=94，解出x=23，即雞有23隻，所以兔子是12隻。

對于高年級的學生，我是非常推薦用這種方法解題的，可以這麼說，對于高年級的學生，設未知數的方法是首選的方法。因為設未知數列方程的方法既是最快的又是最簡潔的，長期運用方程思想求解實際問題，對于提升學生的問題抽象能力有非常大的幫助。不過對于低年級的學生，我還是覺得應該慎重地向他們講述此種方法，因為過早的學習方程解法，一方面對于低年級的學生來說，他們的認知水平有限，會造成他們的認知困擾，就像上面介紹的等量代換的方法一樣，孩子能聽懂，但自己動手做不出來。另一方面，如果他們能夠理解并熟練掌握此種方法，一定會放棄其他的方法，這對于培養他們的探索能力、數形結合能力、分析歸納能力來說，簡直就是個災難！

經典接法六：二元一次方程組

好吧，我承認用二元一次方程組來解雞兔同籠問題有點兒小題大做了，但這确實也是一種比較好的方法。

設雞有x隻，兔子有y隻，那麼根據題意，我們可以列出下面的方程組：

x y=35 ①

2x 4y=94 ②

把第一個式子左右都乘以2，得到2x 2y=70 ③

再用②-③，得到2y=24，進而求得y=12，即兔子有12隻，雞有35-12=23隻。

這種方法确實是簡單粗暴，但問題是很多學生掌握不了，确實有他的局限性，對學有餘力的學生，理解能力較強的學生，可以嘗試講這種方法。

經典解法七：圖解法求解二元一次方程組

剛才提到了可以用二元一次方程組求解這類雞兔同籠問題，很多同學可能會感到比較陌生，這裡，我再介紹一種用作圖的方法，解決二元一次方程組，看看同學們是否能夠理解。

同樣還是設雞有x隻，兔子有y隻，那麼根據題意，我們可以列出下面的方程組：

x y=35 ①

2x 4y=94 ②

到這一步我們要開始變形了，用②÷①，得到

也就是平均每隻動物有

隻腳。

從圖中課件，矩形ABMP是雞兔的總腳數94，與矩形ACDE（雞的腳數）和矩形CBFG（兔的腳數）的和相等，那麼，矩形PQDE的面積就應該等于矩形GFMQ的面積。

這樣，就有

即

所以

結合

得到

嚴格上說，這裡的

孕育着混合物加權平均的思想！

經典解法八：可愛乖萌的金雞獨立法

一隻雞2隻腳，一隻兔子4隻腳，我們讓它們的腳數都減少一半，也就是讓雞單腳着地，來一個金雞獨立，讓兔子前肢收齊，兩個後腿撐地，像下圖那樣。

​

​

這時，它們總的腳數應該是最初時的一半，即94÷2=47隻。我們注意觀察一下，此時，一隻雞有1隻腳，頭腳是一一對應的，一隻兔子有2隻腳，每隻兔子的腳數比頭數多1個。現在的情況是一共35個頭，46隻腳，雞是頭腳一一對應是不多的，那麼多出來的腳都是兔子的，所以有兔子47-35=12隻，知道了兔子的隻數，很容易就算出雞的隻數是23隻了。

這種方法從表面上看和假設法十分相似，但如果你仔細分析後就會發現，這種方法的妙處在于通過金雞獨立，雞的頭數和腳數一一對應了，一個頭對應一隻腳，那麼多出來的腳就是兔子的了。因此，這種方法告訴我們一種解題思路：将其中一個動物的頭腳數做到一比一，這樣，總腳數與總頭數之差就是另一個動物的腳數與頭數之差，在這種情況下，問題得到了簡化，直接可以算出另一個動物的隻數。

經典解法九：滑稽搞笑的吹哨法

聽口令：擡起一隻腳！這時，雞展示了它金雞獨立的功夫，兔子則蹑手蹑腳地擡起了一隻腳。

​

此時，每個動物都少了一隻腳，一共有35個動物，就是少了35隻腳，現在的總腳數是94-35=59隻。聽口令：再擡起一隻腳！這時，雞整個蹲了下來，兔子則是兩隻後腿着地，如圖所示：

​

此時，總腳數=59-35=24，注意觀察我們發現，雞已經沒有腳了，也就是說剩下的24隻腳都是兔子的，我們看圖，現在的兔子有2隻腳，一共24隻腳，那麼兔子就應該有24÷2=12隻，那麼，雞就是35-12=23隻。

對這種解法，我隻能說I服了U。這種解法的妙處就在于通過兩次吹哨，把雞的腿變沒了，徹底把題目簡化成兔子的頭腳問題，這種思路非常值得大家學習，如果孩子對雞兔同籠問題感興趣，我倒是建議家長可以嘗試給孩子講講這種方法，激發他們繼續探索解題方法的熱情。

這種方法和假設法是有區别的，實際上，和上面提到的金雞獨立法也有區别，請同學們認真思考這三種方法的區别到底在什麼地方。

經典解法十：插翅難飛法

一隻雞2隻腳，一隻兔子4隻腳，但是雞會飛啊，來一個大鵬展翅。

​這個時候我們再來看看，一隻雞2腳2翅，也算是湊足了四肢了，這樣，35個動物，每個動物都是四肢，一共有35×4=140，比題目中的94隻腳多了46，這46就是展開的翅膀，我們知道一隻雞2隻翅膀，所以46隻翅膀就是46÷2=23隻雞，兔子就是35-23=12隻。

這種解法本質上是假設法的一種變形，假設所有的動物都是兔子，都有四隻腳（此方法認為是2腳2翅膀），然後運用假設法把題目做出來。不過，這種方法和假設法不同之處，在于運用了圖形和想象，這樣，有助于學生更好地理解。和上面介紹的吹哨法有異曲同工之妙。

經典解法十一：調轉乾坤平均法

出于對求解題目計算的簡化，我們把題目稍作修改，雞兔共有20個頭，共有50隻腳。我們來看如何用平均法求解。

一隻雞2隻腳，一隻兔子4隻腳，那麼它們混合在一起，平均一個動物的腳數應該是大于2小于4的。從題目中我們可以看出，20個頭，50隻腳，平均下來一個動物2.5隻腳（這是什麼怪物？！）我們用線來表示如下:

​

我們把一隻雞2隻腳，一隻兔子4隻腳也标記在線上。

​

從上圖中可以看出，一隻兔子的腳數比平均數多了1.5隻，一隻雞的腳數比平均數少了0.5隻，我們可以這麼理解，一隻兔子比平均數多出的1.5隻腳，需要3隻雞來“拉平”，即一隻兔子配3隻雞，可以配出2.5隻腳的效果，這樣，我們把動物一共分成4份，雞占了3份，兔子占了1份。雞就是20×¾=15隻，兔子就是20×¼=5隻。

對于學有餘力的同學，極力推薦用這種方法思考雞兔同籠問題。因為這種方法把雞兔同籠問題和平均數問題聯系在一起，對于提高對平均數的理解大有好處。不過這種方法由于涉及到各項占比的情況，所以對題目中數字的要求較高，計算的時候需要格外注意。

這種方法我覺得至少要等到孩子四年級下學期才能講給孩子聽，否則，無論是平均數的理解，還是所謂的占比（比和比例都是五年級下或者六年級的内容了），他聽起來都會很吃力，當然，如果孩子很聰明，也有三年級的孩子能夠聽懂這種方法，甚至習慣于用這樣的方法來解題的。

經典解法十二：

其實，這道題還可以這樣考慮，既然雞、兔的總頭數是35，如果能求出雞兔頭數之差，把問題轉化成和差問題，再利用和差公式就很容易算出兩種動物的隻數了。

如下圖所示，設雞有x隻，有2x隻腳（藍色矩形），兔子有y隻，有4y隻腳（黃色矩形）。那麼，兩個藍色矩形與兩個黃色矩形一起，拼成了一個大的正方形ABCD，中間則形成一個中空的矩形PQMN。

​

矩形ABCD的面積是：

它等于兩個藍色矩形的面積加上兩個黃色矩形面積，再加上中間中空的白色矩形PQMN的面積。

因此，有：

則

再利用和差公式，很容易求出

我是優博數學，中科院理學博士，關注我帶給你更多學習方法和解題思路方面的幹貨内容。

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