等量關系是我們跟這個社會、大自然等等打交道最常遇見的關系式之一，如經商、貿易來往、等價交換、交流等，處處體現等量關系的重要性。

人類從最開始用“1”表示數量，如一個蘋果、一隻羊等，之後用未知量“x”進一步來表示數的概念，從而産生“方程”的意識和形成。

方程是指含有未知數的等式，更具體的來講就是表示兩個數學式之間相等關系的一種等式，能使等式成立的未知數的值稱為“解”或“根”。

随着人類社會發展需要，在方程的基礎就出現了函數這一概念。

方程與函數之間的關系可以說非常的密切，在解決很多數學問題過程中，我們需要把一些方程問題轉換成函數問題來求解，反之亦然。在這樣的相互轉化過程中，要求學生不僅要具備紮實的數學基礎知識和方法技巧，更要能熟練運用這些知識方法來解決問題，才能正确解決相應的數學問題。

同時，學生通過解決方程和函數相關問題，能使自己的思維能力、創新能力、探索能力等等得到很好的鍛煉，幫助提高數學綜合能力和素養。因此，函數與方程相關的知識内容、方法技巧等等，一直是高考數學熱點方向，希望大家能認真掌握。

如ax2 bx c=0（a≠0）為一個一元二次方程，當把0改為y時，y=ax2 bx c（a≠0），就是一個二次函數。因此，我們就可以把一元二次方程看成二次函數的一種特殊情況下的方程形式。方程相應的解在高中數學裡面，我們稱之為零點。

那麼什麼是函數的零點？

對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點．

因此，我們一定要處理好函數的零點與相應方程的根、函數的圖象與x軸交點間的關系，如：方程f(x)＝0有實數根⇔函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點⇔函數y＝f(x)有零點．

就像二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系如下表：

典型例題分析1：

m為何值時，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.

(1)有且僅有一個零點；

(2)有兩個零點且均比－1大．

解：(1)若函數f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且僅有一個零點，

則等價于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，

即m2－3m－4＝0，

解得m＝4或m＝－1.

(2)設兩零點分别為x1，x2，且x1>－1，x2>－1，x1≠x2.

則x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4，

按照初中的函數與方程思想，求零點就相當于求函數與x軸的交點，但在高中數學裡有其他的解決方法，如函數零點的判定(零點存在性定理)：

如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那麼，函數y＝f(x)在區間(a，b)内有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根。

利用函數零點的存在性定理判斷零點所在的區間時，首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續不斷，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)内必有零點。

因此，要向正确判斷出函數零點的個數，記住以下這些常用方法：

1、解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；

2、零點存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能确定函數有多少個零點；

3、數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題．先畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的個數，就是函數零點的個數。

典型例題分析2：

已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c.

(1)若a>b>c，且f(1)＝0，試證明f(x)必有兩個零點；

(2)若對x1，x2∈R，且x1<x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]/2有兩個不等實根，證明必有一個實根屬于(x1，x2)．

證明：(1)∵f(1)＝0，

∴a＋b＋c＝0，

又∵a>b>c，

∴a>0，c<0，即ac<0.

又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，

∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根，

∴函數f(x)有兩個零點．

值得注意的是函數的零點不是點，千萬要記住。這是因為函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數根，也就是函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐标，所以函數的零點是一個數，而不是一個點．在寫函數零點時，所寫的一定是一個數字，而不是一個坐标。

對函數零點存在的判斷中，必須強調：

1、f(x)在[a，b]上連續；

2、f(a)·f(b)<0；

3、在(a，b)内存在零點．

這是零點存在的一個充分條件，但不必要。對于定義域内連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同号。

對于在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。

已知函數有零點(方程有根)求參數取值常用的方法：

1、直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式确定參數範圍．

2、分離參數法：先将參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決．

3、數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐标系中，畫出函數的圖象，然後數形結合求解。

典型例題分析3：

關于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區間[0,2]上有解，求實數m的取值範圍．

解：設f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，

①若f(x)＝0在區間[0,2]上有一解，

∵f(0)＝1>0，則應有f(2)<0，

又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，

∴m<－3/2.

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