1. 多邊形内角和為（n-2）180º

證明：

上圖n邊形，在中心找一點，連接中心和各個頂點，把五邊形分成五n個三角形,求多邊形的内角和轉化為求三角形内角和問題。

n邊形内角和=（180º-∠1） （180º-∠2） （180º-∠3） （180º-∠4） （180º-∠5） …..（180º-∠n）

=n*180º-（∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n）

=n*180º-360º

=180º(n-2)

2. 多邊形的外角和為360º

證明：

因為：

180º-∠1 180º-∠2 180º-∠3 180º-∠4 180º-∠5 ……180º-∠n=(n-2)*180º

n*180º-（∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n）=（n-2）180º

n邊形的外角和=∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n

所以 ：

n*180-n邊形的外角和=（n-2）180º

n邊形的外角和= n*180º-（n-2）180º-=n*180º- n*180º 360º =360º

3. 多邊形的對角線

（1） 對角線定義

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線

（2） n邊形的一個頂點可以引出n-3條對角線，這些對角線可将n邊形分成n-2個三角形

證明：

n邊形共有n個頂點，因此剩餘n-1個頂點，根據對對角線的定義，有兩個頂點與這個頂點相鄰，因此剩餘頂點個數為(n-1)-2=n-3，從某一頂點隻能向n-3個點引出n-3條對角線。

（1） n邊形共有n(n-3)/2條對角線

證明：

根據（2）的結論，n邊形每一個頂點有n-3條對角線，那麼n邊形共有n(n-3)條對角線，因為每一條對角線重複的計算了兩次，因此對角線數為n(n-3)/2

4. 正多邊形

在同以平面内各内角都相等，各邊也相等的多邊形叫做正多邊形

1) 正五邊形每個内角為3*180º/5=108º

2) 外角為：360º/5=72º

或者：180º-108º=72º

3) 共有n(n-3)/2=5（5-3）/2=5條對角線

1) 正六邊形每個内角為4*180º/6=120º

正六邊形外對角線的交點是外接圓的圓心，把正六邊形分成六個等邊三角形

2) 外角為：360º/6=60º

或者：180º-120º=60º

3) 共有n(n-3)/2=6（6-3）/2=9條對角線

1. 例題1

正六邊形的邊長為3，較長的一條對角線長為？

根據上面正六邊形的性質可知，較長的一條對角線為6

（1） 等邊三角形及内角為60º

（2） 正六邊形

（3） 多邊形的對角線

利用正六邊形的特點以及對角線的知識即可

1) 解①：

因為;

正五邊形每個内角大小為108º

AE=AB， AE=ED

所以：∠ABE=∠EAD=36º

因為:

∠BAD=∠EAB-∠EAD=108º-36º=72º

∠AME=∠ABE ∠BAD

所以：

∠AME=36º 72º=108º

所以①結論正确

2) 解②：

因為：

∠AEM=∠AED=108º

∠EAM=∠EAD=36º

所以：

ΔAME∽ΔAED

所以有：

AE/AD=AM/AE

又因為：

∠AED=108º

∠AEB=∠DEC=36º

∠AEN=∠AED-∠DEC=108º-36º=72º

∠AEN=72º

又因為

∠DNE=∠AME=108º

所以：

∠ANE=180º-∠DNE=180º-108º=72º

所以有：

∠AEN=∠ANE

AN=AE

因為：AE/AD=AM/AE AN=AE

所以：AN/AD=AM/AN

因此結論②正确

1) 正多邊形

2) 等腰三角形

3) 直角三角形及勾股定理

4) 三角形全等

5) 三角形相似

①，利用正多邊形的内角和、等腰三角形，三角形的一個外角和等于不相鄰的兩個内角和

②，根據公式AN/AD=AM/AN得出與AM和AD有關，找出ΔAME∽ΔAED，然後再找出AE=AN即可，利用角度關系很容易找出AE=AN

③，充分利用②的條件，根據公式AN/AD=AM/AN,列出方程就可以解決問題

④，利用全等、等腰三角形求出ΔEBC的高，就求出了他的面積。

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